Se
e
. Prove que
é diferenciável.
Passo 1
O enunciado define
e pede para provar que
é diferenciável em
.
O conteúdo é o critério de diferenciabilidade via derivadas parciais: se e
existem numa vizinhança de
e são contínuas ali, então
é diferenciável em
.
O conteúdo é o critério de diferenciabilidade via derivadas parciais: se
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Para qualquer ,
Para qualquer
Em particular, em
temos
Passo 3
As funções
são composição de funções elementares (exponencial, seno e cosseno), todas de classe
em
. Logo
e
são contínuas em toda
, em particular numa vizinhança de
.
Passo 4
Pelo teorema que garante diferenciabilidade de uma função cuja derivada parcial existe e é contínua numa vizinhança do ponto, concluímos que
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
, pois suas derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança desse ponto.