Se f(x, y)=e^{x} \sin (y) e \left(x_{0}, y_{0}\right)=\left(0, \frac{\pi}{4}\right). Prove que f é diferenciável.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=e^{x}\sin(y)
e pede para provar que f é diferenciável em (x_{0},y_{0})=(0,\tfrac\pi4).
O conteúdo é o critério de diferenciabilidade via derivadas parciais: se \partial f/\partial x e \partial f/\partial y existem numa vizinhança de (x_{0},y_{0}) e são contínuas ali, então f é diferenciável em (x_{0},y_{0}).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f.
Para qualquer (x,y),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\sin y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\cos y.
Em particular, em \bigl(0,\tfrac\pi4\bigr) temos
\frac{\partial f}{\partial x}\Bigl(0,\tfrac\pi4\Bigr) =e^{0}\sin\!\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr) =\frac{\sqrt2}{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\Bigl(0,\tfrac\pi4\Bigr) =e^{0}\cos\!\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr) =\frac{\sqrt2}{2}.

Passo 3

As funções
(x,y)\mapsto e^{x}\sin y \quad\text{e}\quad (x,y)\mapsto e^{x}\cos y
são composição de funções elementares (exponencial, seno e cosseno), todas de classe C^{\infty} em \mathbb R^{2}. Logo \partial f/\partial x e \partial f/\partial y são contínuas em toda \mathbb R^{2}, em particular numa vizinhança de \bigl(0,\tfrac\pi4\bigr).

Passo 4

Pelo teorema que garante diferenciabilidade de uma função cuja derivada parcial existe e é contínua numa vizinhança do ponto, concluímos que f é diferenciável em \bigl(0,\tfrac\pi4\bigr).

Resposta

A função f(x,y)=e^{x}\sin y é diferenciável em \bigl(0,\tfrac\pi4\bigr), pois suas derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança desse ponto.

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