Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
f(x, y)=y^{4}-4 y^{3}+2 x^{2}+8 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais (máximos e mínimos) e os pontos de sela da função
f(x,y)=y^{4}-4y^{3}+2x^{2}+8xy.
Para isso, vamos calcular o gradiente para achar os pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x+8y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-12y^{2}+8x.
Os pontos críticos satisfazem
\begin{cases} 4x+8y=0,\\\\ 4y^{3}-12y^{2}+8x=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem x=-2y. Substituindo na segunda:
4y^{3}-12y^{2}+8(-2y)=4y^{3}-12y^{2}-16y =4y\bigl(y^{2}-3y-4\bigr) =4y(y-4)(y+1)=0.
Logo os valores de y são 0, 4 e -1, com x=-2y. Os pontos críticos são
(0,0),\quad(-8,4),\quad(2,-1).

Passo 4

As derivadas de segunda ordem são
f_{xx}=4,\qquad f_{yy}=12y^{2}-24y,\qquad f_{xy}=8.
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} =4\,(12y^{2}-24y)-8^{2} =48y^{2}-96y-64.
Avaliando em cada ponto:
– Em (0,0):
D(0,0)=-64<0
logo há ponto de sela.
– Em (-8,4):
D(-8,4)=48\cdot16-96\cdot4-64=320>0, \quad f_{xx}=4>0
logo mínimo local.
– Em (2,-1):
D(2,-1)=48\cdot1-96\cdot(-1)-64=80>0, \quad f_{xx}=4>0
logo mínimo local.
Não aparece caso com D>0 e f_{xx}<0, portanto não há máximos locais.

Resposta

Mínimos locais em (-8,4) e (2,-1).
Ponto de sela em (0,0).
Não existem máximos locais.

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