Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
z=f(x, y)=x^{3}+y^{3}+3 y^{2}-3 x-9 y+2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = f(x,y) = x^{3} + y^{3} + 3y^{2} - 3x - 9y + 2
e pede os pontos críticos (máximos e mínimos locais e pontos de sela). Isso envolve calcular as derivadas parciais, resolver o sistema f_x=0, f_y=0, montar o Hessiano e usar o teste de segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2} - 3,\quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^{2} + 6y - 9.
O sistema de pontos críticos é
3(x^{2} - 1) = 0, \quad 3(y^{2} + 2y - 3) = 0,
ou seja
x^{2} - 1 = 0, \quad y^{2} + 2y - 3 = 0.

Passo 3

Resolvendo cada equação:
x^{2} - 1 = 0 \implies x = \pm 1, \quad y^{2} + 2y - 3 = 0 \implies y = 1 \text{ ou } y = -3.
Logo, os pontos críticos são (1,1), (1,-3), (-1,1) e (-1,-3).

Passo 4

Montamos o Hessiano e seu determinante:
f_{xx} = 6x,\quad f_{xy} = 0,\quad f_{yy} = 6y + 6,
D(x,y) = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 6x\,(6y+6) = 36\,x\,(y+1).
Avaliação em cada ponto:
Em (1,1):
D = 36\cdot1\cdot(1+1) = 72 > 0,\quad f_{xx} = 6 > 0
→ mínimo local.
Em (1,-3):
D = 36\cdot1\cdot(-3+1) = -72 < 0
→ ponto de sela.
Em (-1,1):
D = 36\cdot(-1)\cdot(1+1) = -72 < 0
→ ponto de sela.
Em (-1,-3):
D = 36\cdot(-1)\cdot(-3+1) = 72 > 0,\quad f_{xx} = -6 < 0
→ máximo local.

Passo 5

Para caracterizar a altura dos extremos, calculamos f nos pontos de mínimo e máximo:
f(1,1) = 1 + 1 + 3 - 3 - 9 + 2 = -5, \quad f(-1,-3) = -1 -27 + 27 +3 +27 +2 = 31.

Passo 6

Ao plotar f num domínio como -2 \le x \le 2, -4 \le y \le 2 e vista oblíqua, vê-se claramente o vale em (1,1), o pico em (-1,-3) e as cristas de sela em (1,-3) e (-1,1).

Resposta

Mínimo local: em (1,1) com f(1,1) = -5.
Máximo local: em (-1,-3) com f(-1,-3) = 31.
Pontos de sela: (1,-3) e (-1,1).

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