Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os pontos críticos (máximos e mínimos locais e pontos de sela). Isso envolve calcular as derivadas parciais, resolver o sistema
,
, montar o Hessiano e usar o teste de segunda derivada para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
O sistema de pontos críticos é
ou seja
Passo 3
Resolvendo cada equação:
Logo, os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 4
Montamos o Hessiano e seu determinante:
Avaliação em cada ponto:
Em
:
→ mínimo local.
Em
:
→ ponto de sela.
Em
:
→ ponto de sela.
Em
:
→ máximo local.
Passo 5
Para caracterizar a altura dos extremos, calculamos
nos pontos de mínimo e máximo:
Passo 6
Ao plotar
num domínio como
,
e vista oblíqua, vê-se claramente o vale em
, o pico em
e as cristas de sela em
e
.
Resposta
Mínimo local: em
com
.
Máximo local: em com
.
Pontos de sela: e
.
Máximo local: em
Pontos de sela: