Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes z=f(x, y)=(x-1)^{2}+2 y^{2}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = (x-1)^{2} + 2\,y^{2}
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico e depois o teste da matriz Hessiana para classificar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeiro grau:
Os autovalores de H são 2>0 e 4>0, ou seja, H é definida positiva em todo ponto. Pelo teste da segunda derivada, o ponto crítico é um mínimo local.]
Passo 4
O valor da função no ponto crítico é
f(1,0) = (1-1)^{2} + 2\cdot 0^{2} = 0.
Não há outros pontos críticos, portanto não existem máximos locais nem pontos de sela.
Passo 5
Para visualizar, observe que z=f(x,y) é um paraboloide elíptico voltado para cima, com vértice em (1,0,0). Por exemplo, se você plotar para x\in[-1,3] e y\in[-2,2] com uma visão 3D inclinada, vai ver claramente o “fundo” no vértice e a superfície subindo em todas as direções.
Resposta
Mínimo local em (1,0) com valor f(1,0)=0
Máximos locais: nenhum
Pontos de sela: nenhum