Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
z=f(x, y)=(x-1)^{2}+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = (x-1)^{2} + 2\,y^{2}
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico e depois o teste da matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeiro grau:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2\,(x-1), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4\,y.
Para achar pontos críticos, igualamos ambas a zero:
2\,(x-1)=0 \;\Rightarrow\; x=1, \qquad 4\,y=0 \;\Rightarrow\; y=0.
Logo há um único ponto crítico em (1,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & 4 \end{pmatrix}.
Os autovalores de H são 2>0 e 4>0, ou seja, H é definida positiva em todo ponto. Pelo teste da segunda derivada, o ponto crítico é um mínimo local.]

Passo 4

O valor da função no ponto crítico é
f(1,0) = (1-1)^{2} + 2\cdot 0^{2} = 0.
Não há outros pontos críticos, portanto não existem máximos locais nem pontos de sela.

Passo 5

Para visualizar, observe que z=f(x,y) é um paraboloide elíptico voltado para cima, com vértice em (1,0,0). Por exemplo, se você plotar para x\in[-1,3] e y\in[-2,2] com uma visão 3D inclinada, vai ver claramente o “fundo” no vértice e a superfície subindo em todas as direções.

Resposta

Mínimo local em (1,0) com valor f(1,0)=0
Máximos locais: nenhum
Pontos de sela: nenhum

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