Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x}-1}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{3x}.
Esse é um limite que dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. O conteúdo utilizado aqui é o cálculo de limite de função exponencial em torno de zero, que podemos resolver aplicando a regra de l’Hôpital ou usando a expansão em série de Taylor de 2^x.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=0:
2^{0}-1 = 1-1 = 0,\quad 3\cdot0 = 0,
logo obtemos \tfrac{0}{0} e podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x.
A derivada de 2^x - 1 é
\frac{d}{dx}(2^x - 1) = 2^x\ln 2,
e a derivada de 3x é 3. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{3x} =\lim_{x\to 0}\frac{2^x\ln 2}{3}.

Passo 4

No limite x\to 0 temos 2^x\to 2^0=1. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{2^x\ln 2}{3} =\frac{1\cdot\ln 2}{3} =\frac{\ln 2}{3}.

Resposta

\frac{\ln 2}{3}.

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