Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- A função dada é
. - O enunciado pede:
- determinar os pontos críticos e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela;
- (opcional) traçar o gráfico em 3D com um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes.
- Informação útil já presente: o domínio é todo o plano
(não há restrição explícita).
Passo 2
Encontrar as derivadas parciais (gradiente). Vou explicar passo a passo como derivar e por que.
- Conceito rápido (produto e cadeia). Para derivar
em relação a , usa‑se a regra do produto:
Para
quando
é uma função composta
, usa‑se a regra da cadeia:
- Aplicando isso a
com :
- Calculando
:
- Calculando
(aqui é tratado como constante):
Portanto, o gradiente é
onde
.
Passo 3
Determinar os pontos críticos (resolver
). Aqui é importante notar que
para todo
, nunca é zero, então podemos dividir por esse fator quando necessário.
As equações
são:
Como
, simplificamos para
Da primeira equação obtemos
.
Da segunda equação
temos
ou
. Mas
não satisfaz a primeira equação (pois então
), logo descartamos
. Assim devemos ter
.
Combinando, os pontos críticos são
Passo 4
Preparar a classificação: derivadas segundas e teste da matriz Hessiana. Vou explicar o que é o teste e como usar.
- A matriz Hessiana
é a matriz das derivadas segundas:
O teste padrão para um ponto crítico
usa o determinante
- Se
e então máximo local; - Se
e então mínimo local; - Se
então ponto de sela; - Se
o teste é inconclusivo.
- Vamos calcular as derivadas segundas a partir de expressões obtidas em Passo 2.
Lembrando
e
, com
.
Calcule
:
Como
, temos
Calcule
:
pois
.
Calcule
(ou
):
Passo 5
Avaliar as derivadas segundas nos pontos críticos e aplicar o teste.
Primeiro, observe que em ambos os pontos críticos
e
. Calcule
nesses pontos:
portanto
em ambos os pontos.
Agora as derivadas segundas:
- Em
:
Determinante:
Aqui
e
, logo
é um máximo local.
- Em
:
Determinante:
Aqui
e
, logo
é um mínimo local.
Passo 6
Valores da função nos pontos críticos e comentário sobre máximo/minimo global.
Calcule os valores:
Argumento que estes são, na verdade, extremantes globais (não apenas locais):
- Para qualquer
fixo, com igualdade apenas em . Logo para cada , e para negativo a desigualdade análoga mostra que o menor valor para esse ocorre em . - Assim a busca do máximo (mínimo) global reduz-se a maximizar (minimizar) a função univariada
em . - Derivando
obtemos os candidatos , e tende a quando . Portanto é o máximo global positivo e é o mínimo global negativo.
Portantoé máximo global e é mínimo global também.
Passo 7
Existência de pontos de sela.
- Não existem outros pontos críticos além de
. - Em ambos os pontos o determinante do Hessiano é positivo, então não há pontos de sela entre os pontos críticos encontrados.
- Logo, nesta função não há pontos de sela.
Passo 8
Sugestões práticas para traçar o gráfico em 3D (se quiser executar num computador).
- Domínio conveniente para visualizar bem:
, . A função fica concentrada perto da origem por causa do fator exponencial. - Ponto de vista sugerido: azimute
e elevação (mostra bem o pico positivo em e o vale em ). - Colormap: usar um mapa de cores (por ex. “viridis”) ajuda a visualizar sinais positivo/negativo.
- Planos de corte/contornos: além do gráfico de superfície, plotar a curva de contorno (nível
) e as seções e ajuda a entender formato.
Se quiser um exemplo pronto em Python (Matplotlib + NumPy), este snippet gera uma boa visualização — basta colar num ambiente com essas bibliotecas:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def f(x,y): return x*np.exp(-2*x**2 -2*y**2)
xs = np.linspace(-1.5,1.5,301)
ys = np.linspace(-1.5,1.5,301)
X,Y = np.meshgrid(xs,ys)
Z = f(X,Y)
fig = plt.figure(figsize=(9,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', linewidth=0, antialiased=True, alpha=0.9)
ax.scatter([0.5,-0.5],[0,0],[0.5*np.exp(-0.5),-0.5*np.exp(-0.5)], color='red', s=50)
ax.view_init(elev=30, azim=45)
ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y'); ax.set_zlabel('f(x,y)')
plt.colorbar(surf, shrink=0.6)
plt.show()
Isso desenha a superfície e marca os pontos
.
Resposta
Ponto crítico
: máximo local (e global) com valor
.
Ponto crítico : mínimo local (e global) com valor
.
Não há pontos de sela.
Ponto crítico
Não há pontos de sela.