Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x e^{-2 x^{2}-2 y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • A função dada é f(x,y)=x e^{-2 x^{2}-2 y^{2}}.
  • O enunciado pede:
    • determinar os pontos críticos e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela;
    • (opcional) traçar o gráfico em 3D com um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes.
  • Informação útil já presente: o domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2} (não há restrição explícita).

Passo 2

Encontrar as derivadas parciais (gradiente). Vou explicar passo a passo como derivar e por que.
  1. Conceito rápido (produto e cadeia). Para derivar f(x,y)=x\cdot g(x,y) em relação a x, usa‑se a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cdot g(x,y)\big)=1\cdot g(x,y)+x\cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x,y).
Para \frac{\partial g}{\partial x} quando g é uma função composta g(x,y)=e^{u(x,y)}, usa‑se a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x} e^{u(x,y)}=e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y).
  1. Aplicando isso a f(x,y)=x e^{u(x,y)} com u(x,y)=-2x^{2}-2y^{2}:
\frac{\partial u}{\partial x}=-4x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-4y.
  1. Calculando \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x} =1\cdot e^{u(x,y)} + x\cdot e^{u(x,y)}\cdot(-4x) =e^{u(x,y)}\big(1-4x^{2}\big).
  1. Calculando \frac{\partial f}{\partial y} (aqui x é tratado como constante):
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot \frac{\partial}{\partial y} e^{u(x,y)} = x\cdot e^{u(x,y)}\cdot(-4y) =-4x y\, e^{u(x,y)}.
Portanto, o gradiente é
\nabla f(x,y)=\big(e^{u(x,y)}(1-4x^{2}),\; -4x y\, e^{u(x,y)}\big),
onde u(x,y)=-2x^{2}-2y^{2}.

Passo 3

Determinar os pontos críticos (resolver \nabla f=0). Aqui é importante notar que e^{u(x,y)}>0 para todo (x,y), nunca é zero, então podemos dividir por esse fator quando necessário.
As equações \nabla f(x,y)=0 são:
e^{u(x,y)}(1-4x^{2})=0, \qquad -4x y\, e^{u(x,y)}=0.
Como e^{u(x,y)}\neq 0, simplificamos para
1-4x^{2}=0, \qquad -4x y=0.
Da primeira equação obtemos 1-4x^{2}=0 \Rightarrow x=\pm \tfrac{1}{2}.
Da segunda equação -4x y=0 temos x=0 ou y=0. Mas x=0 não satisfaz a primeira equação (pois então 1-4x^{2}=1\neq0), logo descartamos x=0. Assim devemos ter y=0.
Combinando, os pontos críticos são
\big(\tfrac{1}{2},0\big)\quad\text{e}\quad\big(-\tfrac{1}{2},0\big).

Passo 4

Preparar a classificação: derivadas segundas e teste da matriz Hessiana. Vou explicar o que é o teste e como usar.
  1. A matriz Hessiana H é a matriz das derivadas segundas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
O teste padrão para um ponto crítico (x_{0},y_{0}) usa o determinante
D(x_{0},y_{0})=\det H(x_{0},y_{0})=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local;
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local;
  • Se D<0 então ponto de sela;
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
  1. Vamos calcular as derivadas segundas a partir de expressões obtidas em Passo 2.
Lembrando f_{x}=e^{u}(1-4x^{2}) e f_{y}=-4x y e^{u}, com u=-2x^{2}-2y^{2}.
Calcule f_{xx}:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{u}(1-4x^{2})\big) =e^{u}\big(u_{x}(1-4x^{2})\big)+e^{u}(-8x).
Como u_{x}=-4x, temos
f_{xx}=e^{u}\big(-4x(1-4x^{2})-8x\big) =e^{u}\big(16x^{3}-12x\big).
Calcule f_{yy}:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-4x y e^{u}\big) =-4x\big(e^{u}+y e^{u} u_{y}\big) =-4x e^{u}\big(1-4y^{2}\big),
pois u_{y}=-4y.
Calcule f_{xy} (ou f_{yx}):
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{u}(1-4x^{2})\big) =e^{u} u_{y}(1-4x^{2}) =-4y(1-4x^{2})e^{u}.]

Passo 5

Avaliar as derivadas segundas nos pontos críticos e aplicar o teste.
Primeiro, observe que em ambos os pontos críticos y=0 e x=\pm \tfrac{1}{2}. Calcule u nesses pontos:
u\Big(\pm\tfrac{1}{2},0\Big)=-2\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}-2\cdot 0^{2}=-\tfrac{1}{2},
portanto e^{u}=e^{-1/2} em ambos os pontos.
Agora as derivadas segundas:
  • Em \big(\tfrac{1}{2},0\big): f_{xx}=e^{-1/2}\big(16(\tfrac{1}{2})^{3}-12(\tfrac{1}{2})\big) =e^{-1/2}\big(16\cdot\tfrac{1}{8}-6\big) =e^{-1/2}(2-6)=-4 e^{-1/2}.
f_{yy}=-4\cdot\tfrac{1}{2}\, e^{-1/2}\big(1-4\cdot 0^{2}\big)=-2 e^{-1/2}.
f_{xy}=-4\cdot 0\cdot(1-4(\tfrac{1}{2})^{2})e^{-1/2}=0.
Determinante:
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-4 e^{-1/2})(-2 e^{-1/2})-0=8 e^{-1}.
Aqui D>0 e f_{xx}=-4 e^{-1/2}<0, logo \big(\tfrac{1}{2},0\big) é um máximo local.
  • Em \big(-\tfrac{1}{2},0\big): f_{xx}=e^{-1/2}\big(16(-\tfrac{1}{2})^{3}-12(-\tfrac{1}{2})\big) =e^{-1/2}\big(-2+6\big)=4 e^{-1/2}.
f_{yy}=-4\cdot(-\tfrac{1}{2})\, e^{-1/2}=2 e^{-1/2}.
f_{xy}=0\\ \text{(novamente porque \(y=0\))}.
Determinante:
D=f_{xx}f_{yy}-0=(4 e^{-1/2})(2 e^{-1/2})=8 e^{-1}>0.
Aqui D>0 e f_{xx}=4 e^{-1/2}>0, logo \big(-\tfrac{1}{2},0\big) é um mínimo local.

Passo 6

Valores da função nos pontos críticos e comentário sobre máximo/minimo global.
Calcule os valores:
f\Big(\tfrac{1}{2},0\Big)=\tfrac{1}{2} e^{-1/2},\qquad f\Big(-\tfrac{1}{2},0\Big)=-\tfrac{1}{2} e^{-1/2}.
Argumento que estes são, na verdade, extremantes globais (não apenas locais):
  • Para qualquer x fixo, e^{-2y^{2}}\le 1 com igualdade apenas em y=0. Logo para cada x, f(x,y)=\big(x e^{-2x^{2}}\big)\cdot e^{-2y^{2}}\le x e^{-2x^{2}},e para x negativo a desigualdade análoga mostra que o menor valor para esse x ocorre em y=0.
  • Assim a busca do máximo (mínimo) global reduz-se a maximizar (minimizar) a função univariada h(x)=x e^{-2x^{2}} em x\in\mathbb{R}.
  • Derivando h'(x)=e^{-2x^{2}}(1-4x^{2}) obtemos os candidatos x=\pm\tfrac{1}{2}, e h tende a 0 quando |x|\to\infty. Portanto h(\tfrac{1}{2}) é o máximo global positivo e h(-\tfrac{1}{2}) é o mínimo global negativo.
    Portanto \big(\tfrac{1}{2},0\big) é máximo global e \big(-\tfrac{1}{2},0\big) é mínimo global também.

Passo 7

Existência de pontos de sela.
  • Não existem outros pontos críticos além de \big(\pm\tfrac{1}{2},0\big).
  • Em ambos os pontos o determinante do Hessiano é positivo, então não há pontos de sela entre os pontos críticos encontrados.
  • Logo, nesta função não há pontos de sela.

Passo 8

Sugestões práticas para traçar o gráfico em 3D (se quiser executar num computador).
  • Domínio conveniente para visualizar bem: x\in[-1{,}5,\,1{,}5], y\in[-1{,}5,\,1{,}5]. A função fica concentrada perto da origem por causa do fator exponencial.
  • Ponto de vista sugerido: azimute 45^\circ e elevação 30^\circ (mostra bem o pico positivo em x>0 e o vale em x<0).
  • Colormap: usar um mapa de cores (por ex. “viridis”) ajuda a visualizar sinais positivo/negativo.
  • Planos de corte/contornos: além do gráfico de superfície, plotar a curva de contorno (nível 0) e as seções y=0 e x=0 ajuda a entender formato.
Se quiser um exemplo pronto em Python (Matplotlib + NumPy), este snippet gera uma boa visualização — basta colar num ambiente com essas bibliotecas:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def f(x,y): return x*np.exp(-2*x**2 -2*y**2)

xs = np.linspace(-1.5,1.5,301)
ys = np.linspace(-1.5,1.5,301)
X,Y = np.meshgrid(xs,ys)
Z = f(X,Y)

fig = plt.figure(figsize=(9,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', linewidth=0, antialiased=True, alpha=0.9)
ax.scatter([0.5,-0.5],[0,0],[0.5*np.exp(-0.5),-0.5*np.exp(-0.5)], color='red', s=50)
ax.view_init(elev=30, azim=45)
ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y'); ax.set_zlabel('f(x,y)')
plt.colorbar(surf, shrink=0.6)
plt.show()
Isso desenha a superfície e marca os pontos \big(\pm\tfrac{1}{2},0\big).

Resposta

Ponto crítico \big(\tfrac{1}{2},0\big): máximo local (e global) com valor f\big(\tfrac{1}{2},0\big)=\tfrac{1}{2}e^{-1/2}.
Ponto crítico \big(-\tfrac{1}{2},0\big): mínimo local (e global) com valor f\big(-\tfrac{1}{2},0\big)=-\tfrac{1}{2}e^{-1/2}.
Não há pontos de sela.

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