Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y-6 x^{2}-6 y^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos de f e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, e também gerar (ou indicar) um gráfico 3D que mostre os aspectos importantes da função.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y-6x^{2}-6y^{2}+2.
  • Objetivo 1: encontrar todos os pontos críticos (x,y) (onde o gradiente é nulo).
  • Objetivo 2: classificar cada ponto crítico (máx, mín ou sela).
  • Objetivo 3: sugerir um gráfico 3D (domínio e ponto de vista) que mostre os aspectos importantes (local máximo, local mínimo e selas).

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais de primeira ordem (componentes do gradiente). Explico rápido o porquê: um ponto crítico ocorre onde ambas as derivadas parciais se anulam, pois ali não há direção de crescimento linear primeiro‑ordem.
Calculemos:
f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y-6x^{2}-6y^{2}+2.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6x^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}(2).
Termo a termo:
  • \frac{\partial}{\partial x}(y^{3})=0,
  • \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y)=6xy porque y é constante,
  • \frac{\partial}{\partial x}(6x^{2})=12x,
  • os outros termos são constantes em x.
    Logo
f_x=6xy-12x=6x(y-2).
Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}(2).
Termo a termo:
  • \frac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2},
  • \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y)=3x^{2},
  • \frac{\partial}{\partial y}(6y^{2})=12y,
  • os demais são 0.
    Portanto
f_y=3y^{2}+3x^{2}-12y=3\bigl(y^{2}+x^{2}-4y\bigr).

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
f_x=0,\qquad f_y=0.
Substituindo as expressões:
6x(y-2)=0, \qquad 3\bigl(y^{2}+x^{2}-4y\bigr)=0.
Podemos simplificar o segundo dividindo por 3:
6x(y-2)=0, \qquad y^{2}+x^{2}-4y=0.
O primeiro nos dá duas possibilidades:
  • caso A: x=0;
  • caso B: y=2.
Trate cada caso separadamente.

Passo 4

Caso A: x=0. Substituindo em y^{2}+x^{2}-4y=0 obtemos
y^{2}-4y=0 \quad\Rightarrow\quad y(y-4)=0.
Portanto y=0 ou y=4. Assim dois pontos críticos aqui:
(0,0)\quad\text{e}\quad(0,4).
Caso B: y=2. Substituindo em y^{2}+x^{2}-4y=0:
2^{2}+x^{2}-4\cdot 2=0 \quad\Rightarrow\quad 4 + x^{2} -8 =0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-4=0,
logo x=\pm 2. Assim mais dois pontos críticos:
(2,2)\quad\text{e}\quad(-2,2).
Resumo: há exatamente quatro pontos críticos: (0,0), (0,4), (2,2) e (-2,2).

Passo 5

Para classificar cada ponto usamos a matriz Hessiana (derivadas segundas) e o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis. Lembrete didático curto: sejam f_{xx},f_{yy},f_{xy} as segundas derivadas no ponto. Definimos o discriminante
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (caso degenerado).
Calculemos as segundas derivadas a partir de f_x e f_y.
Já temos f_x=6x(y-2) e f_y=3(y^{2}+x^{2}-4y).
Derivadas segundas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6x(y-2)\bigr)=6(y-2),
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}f_x=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x(y-2)\bigr)=6x,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3(y^{2}+x^{2}-4y)\bigr)=3(2y-4)=6(y-2).
Observação: aqui f_{xx}=f_{yy}=6(y-2) e f_{xy}=6x. A Hessiana tem a forma simétrica
H=\begin{pmatrix}6(y-2) & 6x\\[4pt] 6x & 6(y-2)\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculemos o discriminante D em termos de (x,y):
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} = \bigl(6(y-2)\bigr)\bigl(6(y-2)\bigr) - (6x)^{2}.
Fatorando 36:
D=36\bigl((y-2)^{2}-x^{2}\bigr)=36\bigl((y-2-x)(y-2+x)\bigr).
Então o sinal de D depende de (y-2)^{2}-x^{2}.
Agora avaliaremos D e f_{xx} nos quatro pontos críticos encontrados.

Passo 7

Avaliação em (0,0):
y-2 = 0-2=-2,\qquad f_{xx}=6(y-2)=6(-2)=-12.
D=36\bigl((-2)^{2}-0^{2}\bigr)=36\cdot 4 =144>0.
Conclusão pelo teste: D>0 e f_{xx}<0 \Rightarrow ponto de máximo local em (0,0).

Passo 8

Avaliação em (0,4):
y-2 = 4-2=2,\qquad f_{xx}=6\cdot 2=12>0.
D=36\bigl(2^{2}-0^{2}\bigr)=36\cdot 4 =144>0.
Conclusão: D>0 e f_{xx}>0 \Rightarrow ponto de mínimo local em (0,4).

Passo 9

Avaliação em (2,2):
y-2=0,\qquad f_{xx}=6\cdot 0=0.
D=36\bigl(0^{2}-2^{2}\bigr)=36(-4)=-144<0.
Quando D<0 temos ponto de sela. Apesar de f_{xx}=0, o fato de D<0 já classifica como sela. Logo (2,2) é ponto de sela.

Passo 10

Avaliação em (-2,2):
Mesma situação que em (2,2) porque dependências são quadráticas em x. De fato,
y-2=0,\qquad f_{xx}=0,\qquad D=36(0-(-2)^{2})=-144<0.
Portanto (-2,2) também é ponto de sela.

Passo 11

É útil também calcular os valores de f nesses pontos para entender a “altura” das cavidades e cristas (valor da função no ponto crítico). Calculemos:
Em (0,0):
f(0,0)=0^{3}+3\cdot 0^{2}\cdot 0-6\cdot 0^{2}-6\cdot 0^{2}+2=2.
Em (0,4):
f(0,4)=4^{3}+3\cdot 0^{2}\cdot 4-6\cdot 0^{2}-6\cdot 4^{2}+2=64 - 0 - 0 -6\cdot 16 +2 =64-96+2=-30.
Em (2,2): (e idem para (-2,2) porque aparece x^{2})
f(2,2)=2^{3}+3\cdot 2^{2}\cdot 2-6\cdot 2^{2}-6\cdot 2^{2}+2.
Calcule passo a passo:
2^{3}=8,\qquad 3\cdot 2^{2}\cdot 2 = 3\cdot 4\cdot 2=24,
-6\cdot 2^{2}=-24\quad(\text{esse aparece duas vezes, para }x\text{ e para }y),
somando:
8+24-24-24+2 = -14.
Logo f(2,2)=f(-2,2)=-14.
Interpretação rápida: o máximo local em (0,0) tem valor 2; o mínimo local em (0,4) tem valor -30; as selas em (\pm 2,2) têm valor -14.

Passo 12

Comentário interpretativo e dica de como visualizar no gráfico 3D. Para exibir os aspectos importantes (o pico em (0,0,2), o vale em (0,4,-30) e as duas selas em (\pm 2,2,-14)) escolha um domínio que contenha todos esses pontos e que permita ver a curvatura: por exemplo
x\in[-3,3],\qquad y\in[-1,6].
Sugestão de ponto de vista (para um bom ângulo): azimute \approx 45^\circ e elevação \approx 30^\circ; isso mostra tanto a direção x quanto y e as diferenças de altura. Se usar um software ou Python + matplotlib 3D, trace a superfície, marque os pontos críticos com cores (por ex., vermelho para máximo, azul para mínimo, verde para selas) e desenhe projeções no plano xy para localizar.
Se quiser um recorte mais estreito para detalhes, usar x\in[-2.5,2.5], y\in[-1,5] também funciona bem.

Resposta

Máximo local: (0,0) com f(0,0)=2
Mínimo local: (0,4) com f(0,4)=-30
Pontos de sela: (2,2) e (-2,2) com f(2,2)=f(-2,2)=-14

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