Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos críticos de
e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, e também gerar (ou indicar) um gráfico 3D que mostre os aspectos importantes da função.
Informações dadas:
- A função é
. - Objetivo 1: encontrar todos os pontos críticos
(onde o gradiente é nulo). - Objetivo 2: classificar cada ponto crítico (máx, mín ou sela).
- Objetivo 3: sugerir um gráfico 3D (domínio e ponto de vista) que mostre os aspectos importantes (local máximo, local mínimo e selas).
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais de primeira ordem (componentes do gradiente). Explico rápido o porquê: um ponto crítico ocorre onde ambas as derivadas parciais se anulam, pois ali não há direção de crescimento linear primeiro‑ordem.
Calculemos:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Termo a termo:
-
, -
porque é constante, -
, - os outros termos são constantes em
.
Logo
Derivando em relação a
:
Termo a termo:
-
, -
, -
, - os demais são 0.
Portanto
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar o segundo dividindo por
:
O primeiro nos dá duas possibilidades:
- caso A:
; - caso B:
.
Trate cada caso separadamente.
Passo 4
Caso A:
. Substituindo em
obtemos
Portanto
ou
. Assim dois pontos críticos aqui:
Caso B:
. Substituindo em
:
logo
. Assim mais dois pontos críticos:
Resumo: há exatamente quatro pontos críticos:
,
,
e
.
Passo 5
Para classificar cada ponto usamos a matriz Hessiana (derivadas segundas) e o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis. Lembrete didático curto: sejam
as segundas derivadas no ponto. Definimos o discriminante
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (caso degenerado).
Calculemos as segundas derivadas a partir de
e
.
Já temos
e
.
Derivadas segundas:
Observação: aqui
e
. A Hessiana tem a forma simétrica
Passo 6
Calculemos o discriminante
em termos de
:
Fatorando
:
Então o sinal de
depende de
.
Agora avaliaremos
e
nos quatro pontos críticos encontrados.
Passo 7
Avaliação em
:
Conclusão pelo teste:
e
ponto de máximo local em
.
Passo 8
Avaliação em
:
Conclusão:
e
ponto de mínimo local em
.
Passo 9
Avaliação em
:
Quando
temos ponto de sela. Apesar de
, o fato de
já classifica como sela. Logo
é ponto de sela.
Passo 10
Avaliação em
:
Mesma situação que em porque dependências são quadráticas em
. De fato,
Mesma situação que em
Portanto
também é ponto de sela.
Passo 11
É útil também calcular os valores de
nesses pontos para entender a “altura” das cavidades e cristas (valor da função no ponto crítico). Calculemos:
Em
:
Em
:
Em
: (e idem para
porque aparece
)
Calcule passo a passo:
somando:
Logo
.
Interpretação rápida: o máximo local em
tem valor
; o mínimo local em
tem valor
; as selas em
têm valor
.
Passo 12
Comentário interpretativo e dica de como visualizar no gráfico 3D. Para exibir os aspectos importantes (o pico em
, o vale em
e as duas selas em
) escolha um domínio que contenha todos esses pontos e que permita ver a curvatura: por exemplo
Sugestão de ponto de vista (para um bom ângulo): azimute
e elevação
; isso mostra tanto a direção
quanto
e as diferenças de altura. Se usar um software ou Python + matplotlib 3D, trace a superfície, marque os pontos críticos com cores (por ex., vermelho para máximo, azul para mínimo, verde para selas) e desenhe projeções no plano
para localizar.
Se quiser um recorte mais estreito para detalhes, usar
,
também funciona bem.
Resposta
Máximo local:
com
Mínimo local:
com
Pontos de sela:
e
com