Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace a função com um domínio e um ponto de vista que mostrem os seus aspectos importantes.
f(x, y)=e^{y}\left(y^{2}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos de f, e indicar quais deles são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. A função dada e informações relevantes:
  • A função é \;f(x,y)=e^{y}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr).
  • O domínio natural é todo o plano: \mathbb{R}^{2} (pois e^{y} está definida para todo y).
  • Não há restrição de contorno — buscamos extremos locais e pontos de sela no interior do domínio.
  • Resultado esperado: coordenadas dos pontos críticos e classificação (máximo local / mínimo local / ponto de sela) junto com o valor de f nesses pontos.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos (passo a passo).
  • Lembrete rápido (conceito): pontos críticos são pontos onde o gradiente \nabla f é o vetor nulo, isto é, onde \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}=0. Vou calcular as derivadas e igualar a zero.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}(y^{2}-x^{2})\bigr)=e^{y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x^{2})=e^{y}\cdot(-2x)=-2x\,e^{y}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}(y^{2}-x^{2})\bigr)=e^{y}(y^{2}-x^{2})+e^{y}\cdot 2y=e^{y}\bigl(y^{2}-x^{2}+2y\bigr).
  • Agora imponho \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}=0. Como e^{y}>0 para todo y, posso dividir por e^{y} sem problema.
A equação para \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 dá:
-2x\,e^{y}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Substituindo x=0 na segunda equação:
e^{y}\bigl(y^{2}-0+2y\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y(y+2)=0,
logo y=0 ou y=-2.
  • Portanto os pontos críticos são \,(0,0) e \,(0,-2).

Passo 3

Preparando a classificação: calculo das derivadas segundas e do determinante do Hessiano (a chamada “segunda derivada” em várias variáveis).
  • Lembrete rápido (conceito e fórmula): para classificar um ponto crítico p usamos as segundas derivadas e o determinante
D(p)=f_{xx}(p)\,f_{yy}(p)-\bigl(f_{xy}(p)\bigr)^{2}.
Regra de interpretação:
  • Se D(p)>0 e f_{xx}(p)>0 então p é mínimo local.
  • Se D(p)>0 e f_{xx}(p)<0 então p é máximo local.
  • Se D(p)<0 então p é ponto de sela.
  • Se D(p)=0 o teste é inconclusivo.
  • Vou calcular as segundas derivadas de f.
Derivadas segundas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x\,e^{y})=-2e^{y},
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x\,e^{y})=-2x\,e^{y},
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}(y^{2}-x^{2}+2y)\bigr) = e^{y}(y^{2}-x^{2}+2y) + e^{y}(2y+2).
Agrupando termos em f_{yy}:
f_{yy}=e^{y}\bigl(y^{2}-x^{2}+4y+2\bigr).

Passo 4

Classificação no ponto \,(0,0).
  • Primeiro calculo os valores das segundas derivadas em (0,0). Como e^{0}=1:
f_{xx}(0,0)=-2,\qquad f_{xy}(0,0)=0,\qquad f_{yy}(0,0)=1\cdot(0-0+0+2)=2.
  • Determinante do Hessiano em (0,0):
D(0,0)=f_{xx}(0,0)\,f_{yy}(0,0)-\bigl(f_{xy}(0,0)\bigr)^{2}=(-2)\cdot 2 - 0 = -4.
  • Como D(0,0)=-4<0, pela regra acima o ponto (0,0) é um ponto de sela.
  • Valor da função em (0,0):
f(0,0)=e^{0}(0^{2}-0^{2})=0.

Passo 5

Classificação no ponto \,(0,-2).
  • Calculo as segundas derivadas em (0,-2). Note que e^{-2} é positivo; vou manter e^{-2} em fatores:
f_{xx}(0,-2)=-2e^{-2},
f_{xy}(0,-2)=-2\cdot 0\cdot e^{-2}=0,
f_{yy}(0,-2)=e^{-2}\bigl((-2)^{2}-0+4(-2)+2\bigr)=e^{-2}\bigl(4-8+2\bigr)=e^{-2}(-2)=-2e^{-2}.
  • Determinante do Hessiano em (0,-2):
D(0,-2)=f_{xx}(0,-2)\,f_{yy}(0,-2)-\bigl(f_{xy}(0,-2)\bigr)^{2} =(-2e^{-2})(-2e^{-2})-0=4e^{-4}>0.
  • Como D(0,-2)>0 e f_{xx}(0,-2)=-2e^{-2}<0, a conclusão é: (0,-2) é um máximo local.
  • Valor da função em (0,-2):
f(0,-2)=e^{-2}\bigl((-2)^{2}-0\bigr)=e^{-2}\cdot 4=4e^{-2}.

Passo 6

Observações finais sobre extremos globais e comportamento da função (ajuda para interpretar no desenho).
  • Não existem mínimos locais entre os pontos críticos encontrados.
  • Quanto a extremos globais: não há máximo global nem mínimo global.
    • Justificativa rápida: seguindo a direção x=0 e y\to+\infty tem-se f(0,y)=e^{y}y^{2}\to+\infty, logo não há máximo global.
    • Pela outra direção, fixando y e fazendo x\to\pm\infty, \,y^{2}-x^{2}\to -\infty e e^{y} é fixo, então f\to -\infty; assim não há mínimo global (tende a -\infty).
  • Dica de visualização (para traçar o gráfico): usar um domínio em x simétrico (por exemplo -4\le x\le 4) e um domínio em y que mostre -4\le y\le 4. Do ponto de vista: inclinar levemente a câmera para ver os vales e picos (por exemplo azimute =-60^\circ, elevação =30^\circ em programas padrão) — isso evidencia o pico em (0,-2) e a crista/sela passando por (0,0).

Resposta

(0,-2) é máximo local com valor f(0,-2)=4e^{-2}.
(0,0) é ponto de sela com valor f(0,0)=0.
Não existem mínimos locais.

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