Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace a função com um domínio e um ponto de vista que mostrem os seus aspectos importantes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos críticos de
, e indicar quais deles são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. A função dada e informações relevantes:
- A função é
. - O domínio natural é todo o plano:
(pois está definida para todo ). - Não há restrição de contorno — buscamos extremos locais e pontos de sela no interior do domínio.
- Resultado esperado: coordenadas dos pontos críticos e classificação (máximo local / mínimo local / ponto de sela) junto com o valor de
nesses pontos.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos (passo a passo).
- Lembrete rápido (conceito): pontos críticos são pontos onde o gradiente
é o vetor nulo, isto é, onde e . Vou calcular as derivadas e igualar a zero. - Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Agora imponho
e . Como para todo , posso dividir por sem problema.
A equação para
dá:
Substituindo
na segunda equação:
logo
ou
.
- Portanto os pontos críticos são
e .
Passo 3
Preparando a classificação: calculo das derivadas segundas e do determinante do Hessiano (a chamada “segunda derivada” em várias variáveis).
- Lembrete rápido (conceito e fórmula): para classificar um ponto crítico
usamos as segundas derivadas e o determinante
Regra de interpretação:
- Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo. - Vou calcular as segundas derivadas de
.
Derivadas segundas:
Agrupando termos em
:
Passo 4
Classificação no ponto
.
- Primeiro calculo os valores das segundas derivadas em
. Como :
- Determinante do Hessiano em
:
- Como
, pela regra acima o ponto é um ponto de sela. - Valor da função em
:
Passo 5
Classificação no ponto
.
- Calculo as segundas derivadas em
. Note que é positivo; vou manter em fatores:
- Determinante do Hessiano em
:
- Como
e , a conclusão é: é um máximo local. - Valor da função em
:
Passo 6
Observações finais sobre extremos globais e comportamento da função (ajuda para interpretar no desenho).
- Não existem mínimos locais entre os pontos críticos encontrados.
- Quanto a extremos globais: não há máximo global nem mínimo global.
- Justificativa rápida: seguindo a direção
e tem-se , logo não há máximo global. - Pela outra direção, fixando
e fazendo , e é fixo, então ; assim não há mínimo global (tende a ).
- Justificativa rápida: seguindo a direção
- Dica de visualização (para traçar o gráfico): usar um domínio em
simétrico (por exemplo ) e um domínio em que mostre . Do ponto de vista: inclinar levemente a câmera para ver os vales e picos (por exemplo azimute , elevação em programas padrão) — isso evidencia o pico em e a crista/sela passando por .
Resposta
Não existem mínimos locais.