Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=x^4-y^2-2 x^2+3 y-8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^4-y^2-2x^2+3y-8
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema para achar pontos críticos e teste de segunda derivada (Hessiana).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx = partial fpartial x=4x^3-4x = 4x(x^2-1),
fy = partial fpartial y=-2y+3
Daí
fx=0implies x=0ou x=pm1,
fy=0implies y=tfrac32
Portanto, os pontos críticos são
(0,tfrac32),(1,tfrac32),(-1,tfrac32)

Passo 3

Agora formamos a Hessiana:
fxx=12x^2-4, fyy=-2, fxy=0
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=fxxfyy-fxy^2=(12x^2-4)(-2)

Passo 4

Avaliamos D e fxx em cada ponto crítico:
– Em l(0,tfrac32r):
fxx(0,tfrac32)=12cdot0^2-4=-4,
D(0,tfrac32)=(-4)cdot(-2)=8>0
Como D>0 e fxx<0, há um máximo local em l(0,tfrac32r).
– Em l(pm1,tfrac32r):
fxx(pm1,tfrac32)=12cdot1-4=8,
D(pm1,tfrac32)=8cdot(-2)=-16<0
Como D<0, cada um desses é ponto de sela.
Não há pontos em que D>0 e fxx>0, logo não existem mínimos locais.

Resposta

Máximo local:
(0,tfrac32), f(0,tfrac32)=-tfrac234
Pontos de sela:
(1,tfrac32)e(-1,tfrac32)
Não há mínimos locais.

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