Questão 3. Calcule as seguintes integrais.
integral ln (x^2-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral lnl(x^2-1r),dx
O método mais adequado é integração por partes, pois temos um logaritmo. Também precisaremos de frações parciais para integrar o quociente que aparecerá.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = lnl(x^2-1r), dv = dx
du = 2xx^2-1,dx, v = x
Logo
integral lnl(x^2-1r),dx = x,lnl(x^2-1r) - integral xcdot2xx^2-1,dx

Passo 3

O integrando restante é
2x^2x^2-1
Fazemos a divisão inteira:
2x^2x^2-1 =2 + 2x^2-1
Então
integral 2x^2x^2-1,dx = integral 2,dx + integral 2x^2-1,dx = 2x + 2integral 1x^2-1,dx

Passo 4

Para integrar
integral 1x^2-1,dx
usamos frações parciais:
1x^2-1 =12l(1x-1-1x+1r)
Então
integral 1x^2-1,dx =12l(lnlvert x-1rvert - lnlvert x+1rvertr) =12lnllvertx-1x+1rrvert
Multiplicando por 2:
2integral 1x^2-1,dx =lnllvertx-1x+1rrvert

Passo 5

Reunindo tudo:
integral lnl(x^2-1r),dx = xlnl(x^2-1r) - l(2x + lnllvertx-1x+1rrvertr) + C
Podemos também usar
-lnx-1x+1=lnx+1x-1,
ficando a forma alternativa.

Resposta

boxed integral lnl(x^2-1r),dx = xlnl(x^2-1r) -2x -lnllvertx-1x+1rrvert + C

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