Estude a periodicidade da função:
f(x)=x-lfloor xrfloor

Passo 1

O enunciado pede para estudar a periodicidade da função
f(x)=x-lfloor xrfloor,
que é justamente a parte fracionária de x. Vamos usar o conceito de função periódica para verificar se existe um T>0 tal que
f(x+T)=f(x)
para todo x.

Passo 2

Por definição, dizemos que f é periódica de período T>0 se
f(x+T)=f(x)
para todo x. O menor T>0 que satisfaz isso é chamado de período fundamental.

Passo 3

Calculemos f(x+1):
f(x+1)=(x+1)-lfloor x+1rfloor
Como lfloor x+1rfloor=lfloor xrfloor+1, temos
f(x+1)=(x+1)-(lfloor xrfloor+1)=x-lfloor xrfloor=f(x)

Passo 4

Como f(x+1)=f(x) para todo x, concluímos que T=1 é um período de f. De modo geral, para qualquer inteiro k,
f(x+k)=f(x),
ou seja, todo kinZ fornece um período, mas o fundamental é o menor positivo.

Passo 5

Entre todos os T>0 que satisfazem f(x+T)=f(x), o menor é T=1. Logo, o período fundamental de f é 1.

Resposta

A função f(x)=x-lfloor xrfloor é periódica de período fundamental 1.

Exercícios relacionados