Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=(2 x-3)^2-(y+2)^2

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais e pontos de sela da função
f(x,y) = (2x - 3)^2 - (y + 2)^2
O conteúdo envolve: derivadas parciais para obter o gradiente, solução das equações nabla f=0 para achar pontos críticos e uso da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2,(2x-3)cdot 2 = 4,(2x-3),
partial fpartial y = -2,(y+2)

Passo 3

Igualamos as derivadas a zero para encontrar o ponto crítico:
4,(2x-3)=0 ;Rightarrow; 2x-3=0 ;Rightarrow; x=32,
-2,(y+2)=0 ;Rightarrow; y+2=0 ;Rightarrow; y=-2
Logo, o único ponto crítico é l(tfrac32,-2r).

Passo 4

Formamos a matriz Hessiana H avaliando as segundas derivadas:
fxx = partialpartial xl[4,(2x-3)r] = 8, fxy = partialpartial yl[4,(2x-3)r] =0,
fyy = partialpartial yl[-2,(y+2)r] =-2
Assim,
H = 8 & 0 [6pt] 0 & -2
]

Passo 5

Calculamos o determinante de H:
det H = 8 cdot (-2) - 0 cdot 0 = -16 < 0
Quando det H<0, o ponto é de sela.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais, e a função apresenta ponto de sela em l(tfrac32,-2r).

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