Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, analisar a definitude da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
Resolvendo
Logo há um único ponto crítico em .
Passo 3
Formamos a matriz Hessiana de , cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
Os autovalores de H são ambos iguais a -2, que é negativo. Portanto H é definida negativa.
Passo 4
Como a Hessiana é definida negativa em (2,-1), esse ponto é um máximo local. Para ver o valor de f nesse ponto, fazemos