Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=-x^2-y^2+4 x-2 y-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = -x^2 - y^2 + 4x - 2y - 3
e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, analisar a definitude da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
partial fpartial x = -2x + 4, partial fpartial y = -2y - 2
Resolvendo
-2x + 4 = 0 Rightarrow x = 2, -2y - 2 = 0 Rightarrow y = -1
Logo há um único ponto crítico em (2,-1).

Passo 3

Formamos a matriz Hessiana de f, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 = -2 & 0 0 & -2
Os autovalores de H são ambos iguais a -2, que é negativo. Portanto H é definida negativa.

Passo 4

Como a Hessiana é definida negativa em (2,-1), esse ponto é um máximo local. Para ver o valor de f nesse ponto, fazemos
f(2,-1) = -2^2 -(-1)^2 + 4cdot2 - 2cdot(-1) - 3 = -4 -1 +8 +2 -3 = 2

Resposta

O único ponto crítico é (2,-1), que é um máximo local de valor f(2,-1)=2.
Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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