Questão 3. Calcule as seguintes integrais.
integral xx^4-16 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xx^4-16,dx
Este é um integral de função racional: vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador e propomos a forma parcial:
x^4 - 16 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4),
xx^4-16 = Ax-2 + Bx+2 + Cx+Dx^2+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^4-16 e igualando coeficientes de x^3,x^2,x^1,x^0, obtemos o sistema
A + B + C = 0, 2A - 2B + D = 0, 4A + 4B - 4C = 1, 8A - 8B - 4D = 0

Passo 4

Das duas últimas equações conclui-se A=B e D=0. Substituindo em A+B+C=0 vem C=-2A. Na equação 4A+4B-4C=1 obtemos
16A = 1 Longrightarrow A = tfrac116,; B = tfrac116,; C = -tfrac18,; D = 0

Passo 5

A decomposição fica
xx^4-16 = 1/16x-2 + 1/16x+2 - 1/8,xx^2+4
Integrando termo a termo e usando
integral dxxpm2 = lnlvert xpm2rvert, integral xx^2+4,dx = tfrac12ln(x^2+4),
chegamos a
integral xx^4-16,dx = 116lnlvert x-2rvert + 116lnlvert x+2rvert - 116ln(x^2+4) + C

Resposta

boxedintegral xx^4-16,dx = 116ln!lvert x^2-4,x^2+4,rvert + C

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