Questão 3. Calcule as seguintes integrais.
integral (x-2)^2 arctg(2 x)-12 x^3-3 x(4 x^2+1)(x-2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede
integral (x-2)^2,arctan(2x)-12x^3-3xl(4x^2+1r),(x-2)^2,dx
O que vamos usar:
  1. Separar a fração em duas parcelas para integrar cada uma isoladamente.
  2. Substituição u=arctan(2x) para a parte com arctan.
  3. Decomposição em frações simples para a parte racional.

Passo 2

Separe o integrando:
(x-2)^2,arctan(2x)-12x^3-3x(4x^2+1)(x-2)^2 =(x-2)^2,arctan(2x)(4x^2+1)(x-2)^2 -12x^3+3x(4x^2+1)(x-2)^2
Observe que 12x^3+3x=3x(4x^2+1), logo
integral(x-2)^2,arctan(2x)(4x^2+1)(x-2)^2,dx -integral3x(4x^2+1)(4x^2+1)(x-2)^2,dx =integralarctan(2x)4x^2+1,dx -3integralx(x-2)^2,dx

Passo 3

Calcule
I1=integralarctan(2x)4x^2+1,dx
Use u=arctan(2x), então
du=21+4x^2,dx Longrightarrow dx4x^2+1=du2
Logo
I1=integral u;du2 =12,u^22 =(arctan(2x))^24

Passo 4

Calcule
I2=integralx(x-2)^2,dx
Faça a divisão x=(x-2)+2, assim
x(x-2)^2 =x-2(x-2)^2 +2(x-2)^2 =1x-2+2(x-2)^2
Então
I2 =integral1x-2,dx +2integral1(x-2)^2,dx =lnlvert x-2rvert +2l(-1x-2r) =lnlvert x-2rvert-2x-2
Multiplicando por 3:
3I2=3lnlvert x-2rvert-6x-2

Passo 5

Reunindo I1-3I2 e adicionando +C, obtemos
integral(x-2)^2arctan(2x)-12x^3-3x(4x^2+1)(x-2)^2,dx =(arctan(2x))^24 -3lnlvert x-2rvert +6x-2 +C

Resposta

boxed(arctan(2x))^24 -3lnlvert x-2rvert +6x-2+C

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