Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais (gradiente) para achar os pontos críticos e depois analisar a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiras para obter o gradiente.
A derivada em relação a é
A derivada em relação a
e em relação a
é
Passo 3
Para pontos críticos fazemos
. Como
para todo
, isso implica
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana
, cujas entradas são as segundas derivadas:
Logo
]
Passo 5
Avaliamos
em
:
Assim
cujo determinante é
Como o determinante é negativo, a forma quadrática associada é indefinida, caracterizando ponto de sela.
Resposta
A função
não apresenta máximos nem mínimos locais. O único ponto crítico é
, que é um ponto de sela.