Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=e^x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=e^xy e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais (gradiente) para achar os pontos críticos e depois analisar a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras para obter o gradiente.
A derivada em relação a x é
fx=partialpartial xe^xy=e^xy,y
e em relação a y é
fy=partialpartial ye^xy=e^xy,x

Passo 3

Para pontos críticos fazemos nabla f=(fx,fy)=(0,0). Como e^xy>0 para todo (x,y), isso implica
e^xy,y=0Longrightarrow y=0,
e^xy,x=0Longrightarrow x=0
Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana H, cujas entradas são as segundas derivadas:
fxx=partialpartial x(e^xyy)=e^xyy^2, fxy=partialpartial y(e^xyy)=e^xy(xy+1),
fyy=partialpartial y(e^xyx)=e^xyx^2
Logo
H(x,y) = e^xyy^2 & e^xy(xy+1)[6pt] e^xy(xy+1) & e^xyx^2
]

Passo 5

Avaliamos H em (0,0):
fxx(0,0)=e^0cdot0^2=0, fxy(0,0)=e^0cdot(0cdot0+1)=1, fyy(0,0)=e^0cdot0^2=0
Assim
H(0,0)=0&11&0,
cujo determinante é
det H(0,0)=0cdot0-1cdot1=-1<0
Como o determinante é negativo, a forma quadrática associada é indefinida, caracterizando ponto de sela.

Resposta

A função f(x,y)=e^xy não apresenta máximos nem mínimos locais. O único ponto crítico é (0,0), que é um ponto de sela.

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