Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e pede todos os pontos críticos, classificando-os em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis com o uso de derivadas parciais e teste da matriz Hessiana.
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis com o uso de derivadas parciais e teste da matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
As equações críticas são
Passo 3
Resolvendo o sistema
substituímos
na segunda e obtemos
Logo as soluções reais são
Os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar, montamos a matriz Hessiana
No ponto
:
No ponto
:
Passo 5
Calculando o valor da função no máximo:
Não há mínimos locais, apenas um máximo local e um ponto de sela.
Resposta
Ponto de sela:
.
Máximo local: com valor
.
Não existem mínimos locais.
Máximo local:
Não existem mínimos locais.