Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=x y-x^3-y^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=xy - x^3 - y^3
e pede todos os pontos críticos, classificando-os em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis com o uso de derivadas parciais e teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
fx = partial fpartial x = y - 3x^2, fy = partial fpartial y = x - 3y^2
As equações críticas são
y - 3x^2 = 0, x - 3y^2 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema
y = 3x^2, x = 3y^2,
substituímos y=3x^2 na segunda e obtemos
x = 3,(3x^2)^2 = 27,x^4 ;Longrightarrow; x,(1 - 27x^3)=0
Logo as soluções reais são
x=0 Longrightarrow y=3cdot0^2=0 e x^3=tfrac127;Longrightarrow;x=tfrac13,;y=3l(tfrac13r)^2=tfrac13
Os pontos críticos são (0,0) e l(tfrac13,tfrac13r).

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana
H = fxx & fxy[6pt] fyx & fyy = -6x & 1[3pt] 1 & -6y
No ponto (0,0):
H(0,0)=0&11&0, det H(0,0) = -1<0 ;Longrightarrow; ponto de sela
No ponto l(tfrac13,tfrac13r):
Hl(tfrac13,tfrac13r) =-2&11&-2, det H=4-1=3>0, fxx=-2<0 ;Longrightarrow; máximo local á]

Passo 5

Calculando o valor da função no máximo:
fl(tfrac13,tfrac13r) =tfrac13cdottfrac13 - l(tfrac13r)^3 - l(tfrac13r)^3 =tfrac19 - tfrac127 - tfrac127 =tfrac127
Não há mínimos locais, apenas um máximo local e um ponto de sela.

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Máximo local: l(tfrac13,tfrac13r) com valor f=tfrac127.
Não existem mínimos locais.

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