Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de coeficientes constantes
O conteúdo é resolução de EDOs homogêneas por equação característica e construção de solução particular por método dos palpite (undetermined coefficients).
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos a equação característica
As raízes são
Logo a solução complementar é
Passo 3
Para a parte particular
, o termo
é um polinômio de grau 1 que ressoa com
(multiplicidade 1), então palpitamos
Para
ressoa com
(multiplicidade 2), então palpitamos
Então
Passo 4
Aplicando
ao polinômio
:
Queremos
, daí
Logo
.
Passo 5
Aplicando
a
e fazendo contas de
,
e
(uso de derivadas sucessivas e agrupamento de termos) chega-se a
Como queremos
, igualamos coeficientes:
Passo 6
A solução particular é
Portanto a solução geral é