Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^(5)+2 y^prime prime prime+y^prime=2 x+sen x+cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de coeficientes constantes
y^(5)+2y'''+y'=2x+sin x+cos x
O conteúdo é resolução de EDOs homogêneas por equação característica e construção de solução particular por método dos palpite (undetermined coefficients).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^5+2r^3+r=0;Longrightarrow;r,(r^4+2r^2+1)=r,(r^2+1)^2=0
As raízes são
r=0(mu<iplicidade 1), r=i,,-i(cada uma mu<iplicidade 2)
Logo a solução complementar é
yc = C1 + C2cos x + C3sin x + C4,xcos x + C5,xsin x

Passo 3

Para a parte particular yp, o termo 2x é um polinômio de grau 1 que ressoa com r=0 (multiplicidade 1), então palpitamos
u(x)=C x^2 + D x
Para sin x+cos x ressoa com r=pm i (multiplicidade 2), então palpitamos
v(x)=x^2l(Ecos x + Fsin xr)
Então
yp = u(x) + v(x)

Passo 4

Aplicando L[y]=y^(5)+2y'''+y' ao polinômio u(x):
u'=2C x + D, u'''=0, u^(5)=0 ;Longrightarrow; L[u]=2C x + D
Queremos L[u]=2x, daí
2C=2;Rightarrow;C=1, D=0
Logo u(x)=x^2.

Passo 5

Aplicando L a v(x)=x^2(Ecos x+Fsin x) e fazendo contas de v', v''' e v^(5) (uso de derivadas sucessivas e agrupamento de termos) chega-se a
L[v]=8Esin x ;-;8Fcos x
Como queremos L[v]=sin x+cos x, igualamos coeficientes:
8E=1;Rightarrow;E=tfrac18, -8F=1;Rightarrow;F=-tfrac18

Passo 6

A solução particular é
yp = x^2 + x^2l(tfrac18cos x - tfrac18sin xr) = x^2 + x^28(cos x - sin x)
Portanto a solução geral é
y = yc + yp = C1 + C2cos x + C3sin x + C4,xcos x + C5,xsin x + x^2 + x^28(cos x - sin x)

Resposta

boxedy = C1 + C2cos x + C3sin x + C4,xcos x + C5,xsin x + x^2 + x^28(cos x - sin x)

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