Estude a periodicidade da função:
f(x)=ll1, & x in Q 0, & x in R backslash Q (tarefa!)

Passo 1

O enunciado define a função de Dirichlet
f(x)=1,&xinQ,0,&xinRsetminusQ,
e pede para estudar sua periodicidade. Vamos usar a definição de período: um número p é período de f se, para todo xinR, vale
;f(x+p)=f(x)
Também precisaremos das propriedades: a soma de dois números racionais é racional, e a soma de um número irracional com um racional é irracional.

Passo 2

Suponha primeiro que pinQ. Então para qualquer xinR:
  • Se xinQ, então x+pinQ+Q=Q, logo f(x)=1 e f(x+p)=1.
  • Se xnotinQ, então x+pin(RsetminusQ)+Q=RsetminusQ, logo f(x)=0 e f(x+p)=0.
    Em ambos os casos f(x+p)=f(x), portanto todo pinQ é período de f.

Passo 3

Agora suponha que pnotinQ. Escolha xinQ. Então x+p é soma de racional com irracional, que é irracional. Assim
;f(x)=1mas f(x+p)=0,
logo f(x+p)neq f(x). Portanto nenhum pnotinQ pode ser período.

Passo 4

Concluímos que o conjunto de períodos de f é exatamente Q. Ou seja, todos os números racionais são períodos e nenhum número irracional o é.
Como não existe o menor número positivo em Q, a função não possui período fundamental, embora seja periódica (com periódicos arbitrariamente pequenos).

Resposta

O conjunto de períodos de f é Q. A função é periódica, mas não possui período fundamental.

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