Determine os valores de m de modo que a reta (r) de equação 3 x-4 y-m=0 e a circunferência (lambda) x^2+y^2-4 x+2 y-11=0 sejam tangentes.
Escolha uma opção:
() m=10 or m=30
  • m=-10 or m=30
    () m=-30 or m=10
  • m=-10
  • m=30

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que a reta
3x - 4y - m = 0
seja tangente à circunferência
x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0
Para isso, vamos usar a condição de tangência entre reta e circunferência, que é a distância do centro da circunferência até a reta ser igual ao raio.

Passo 2

Encontrar o centro e o raio da circunferência completando quadrados:
x^2 - 4x + y^2 + 2y = 11
(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 11
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16
Logo o centro é (2,-1) e o raio é 4.

Passo 3

A distância do ponto (h,k) à reta Ax + By + C = 0 é
d = l|A,h + B,k + Cr|raizA^2 + B^2
Aqui temos A=3, B=-4, C=-m e (h,k)=(2,-1). Exigimos d = 4, logo
l|3cdot 2 + (-4)cdot(-1) - mr|raiz3^2 + (-4)^2 = 4

Passo 4

Calcular o valor dentro do valor absoluto e resolver:
l|6 + 4 - mr|5 = 4
|10 - m| = 20
Isto dá duas soluções:
10 - m = 20 implies m = -10,
10 - m = -20 implies m = 30

Resposta

m = -10 ou m = 30.

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