Com relação à sequência
podemos afirmar que ela:
Passo 1
O enunciado trata da sequência
e pede para identificarmos seu comportamento assintótico (limite quando
), além de comentar sobre monotonicidade e acotamento. Vamos usar limites clássicos e, se preciso, análise de sinais e diferenças para monotonicidade.
Passo 2
Calcular separadamente
Como a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, vale
E pela regra de indeterminação tipo
ou pelo fato de
crescer mais devagar que
, temos
Assim, pela linearidade do limite,
Passo 3
Mostrar que
é limitada. Para todo
temos
e
, logo
Por outro lado, a partir de
nota-se numericamente que
, fazendo
. Assim
fica sempre entre algum valor mínimo (aprox.
) e
, logo é limitada.
Passo 4
Analisar monotonicidade. Compute-se
Fazendo análise numérica dos primeiros termos nota-se que
muda de sinal (por exemplo o mínimo ocorre em torno de
). Portanto a sequência não é monotônica para todo
.
Resposta
A sequência converge para
, é limitada, mas não é monotônica.