Com relação à sequência n2^n-ln (n)n podemos afirmar que ela:

Passo 1

O enunciado trata da sequência
an = n2^n ;-;ln(n)n,
e pede para identificarmos seu comportamento assintótico (limite quando ntoinfty), além de comentar sobre monotonicidade e acotamento. Vamos usar limites clássicos e, se preciso, análise de sinais e diferenças para monotonicidade.

Passo 2

Calcular separadamente
limntoinftyn2^n e limntoinftyln(n)n
Como a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, vale
limntoinftyn2^n=0
E pela regra de indeterminação tipo infty/infty ou pelo fato de ln(n) crescer mais devagar que n, temos
limntoinftyln(n)n=0
Assim, pela linearidade do limite,
limntoinftyan =;0 ;-;0 =;0

Passo 3

Mostrar que an é limitada. Para todo n>=1 temos tfracn2^n>=0 e tfracln(n)n>=0, logo
an <= n2^n <= 12 (pex para n>=1, pois n/2^n<=1/2)
Por outro lado, a partir de n=4 nota-se numericamente que tfracln(n)n>tfracn2^n, fazendo an<0. Assim an fica sempre entre algum valor mínimo (aprox. -0,23) e 1/2, logo é limitada.

Passo 4

Analisar monotonicidade. Compute-se
De<a an=an+1-an =l(n+12^n+1-n2^nr) ;-;l(ln(n+1)n+1-ln(n)nr)
Fazendo análise numérica dos primeiros termos nota-se que De<a an muda de sinal (por exemplo o mínimo ocorre em torno de n=8). Portanto a sequência não é monotônica para todo n.

Resposta

A sequência converge para 0, é limitada, mas não é monotônica.

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