Determine beta, we varphi de modo que a equação x^2+beta y^2+6 omega x y-4 x-6 y+varphi=0 represente uma circunferência ( lambda ) de raio 2 .
Escolha uma opção:
beta=1 ; omega=0 ; varphi=-113
beta=1 ; omega=0 ; varphi=113
beta=1 ; omega=0 ; varphi=-9
beta=1 ; omega=0 ; varphi=-17
beta=1 ; omega=0 ; varphi=9

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2+beta y^2+6omega xy-4x-6y+varphi=0
e pede que ela seja uma circunferência de raio 2. Para isso não pode haver termo misto xy e os coeficientes de x^2 e y^2 devem ser iguais. Usaremos completamento de quadrados para encontrar centro e raio.

Passo 2

Para eliminar o termo misto e igualar os coeficientes, impomos
beta=1 e omega=0. Então a equação fica
x^2+y^2-4x-6y+varphi=0

Passo 3

Complete o quadrado em x e em y:
x^2-4x=(x-2)^2-4,
y^2-6y=(y-3)^2-9
Substituindo na equação original:
(x-2)^2-4+(y-3)^2-9+varphi=0 Longrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2+varphi-13=0

Passo 4

Para que seja uma circunferência de raio 2, o raio ao quadrado deve ser 4. Da forma acima, o raio ao quadrado é 13-varphi, logo
13-varphi=4 Longrightarrow varphi=9

Resposta

beta=1; omega=0; varphi=9

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