Determine para quais valores do parâmetros (letras gregas) as transformações abaixo são lineares:
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de
e
tais que a aplicação
, definida por
, seja uma transformação linear. Vamos usar que uma transformação
é linear se e só se ela preserva soma e multiplicação escalar, o que implica que cada componente de
deve ser uma combinação afim sem termo constante de
e
(na verdade, sem termo independente para passar em zero).
Passo 2
Para o primeiro componente
, verificamos a homogeneidade
. Isso dá
, ou seja
para todo
. A única forma disso ocorrer para todo
é
.
Passo 3
No segundo componente
, o termo
já é linear em
para qualquer
. Mas o termo
só é linear em
se
para algum
. Isso força
, pois
só cresce de forma diretamente proporcional a
quando
.
Passo 4
Juntando as condições de ambos os componentes, concluímos que a transformação só é linear se
e
.