Determine para quais valores do parâmetros (letras gregas) as transformações abaixo são lineares:
, tal que

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de alpha e beta tais que a aplicação F: R^2to R^2, definida por (x,y)mapsto (x^alpha,;alpha x + y^beta), seja uma transformação linear. Vamos usar que uma transformação F é linear se e só se ela preserva soma e multiplicação escalar, o que implica que cada componente de F(x,y) deve ser uma combinação afim sem termo constante de x e y (na verdade, sem termo independente para passar em zero).

Passo 2

Para o primeiro componente f1(x,y)=x^alpha, verificamos a homogeneidade f1(c,x,c,y)=c,f1(x,y). Isso dá (c,x)^alpha = c,x^alpha, ou seja c^alpha x^alpha = c,x^alpha para todo c,x. A única forma disso ocorrer para todo c é alpha=1.

Passo 3

No segundo componente f2(x,y)=alpha x + y^beta, o termo alpha x já é linear em x para qualquer alpha. Mas o termo y^beta só é linear em y se y^beta = c,y para algum c. Isso força beta=1, pois (y)^beta só cresce de forma diretamente proporcional a y quando beta=1.

Passo 4

Juntando as condições de ambos os componentes, concluímos que a transformação só é linear se alpha=1 e beta=1.

Resposta

alpha=1 e beta=1.

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