Verifique quais dos seguintes vetores são unitários.
v1=(0,1 / 8,5 / 8,3 / 8,-4 / 8,3 / 8,-1 / 8,0,1 / 8,-1 / 8,1 / 8),
v2=(1,1,1),
v3=(2 / 3,-2 / 3,1 / 3).

Passo 1

O problema pede pra verificar quais dos vetores dados têm comprimento igual a 1 (são unitários). O conteúdo que vamos usar é o cálculo da norma de um vetor em $\mathbb R^n$, que se baseia no produto escalar.

Passo 2

A norma (ou módulo) de um vetor R^n em $\mathbb R^n$ é definida por
$$
\lVert v\rVert = \\sqrt{v\cdot v} = \\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}.
$$
Para cada vetor, vamos calcular lVert vrVert = raizvcdot v = raizsumi=1^n vi^2 e ver se isso é igual a 1.

Passo 3

Para lVert v1rVert^2 = 0^2 + (1/8)^2 + (5/8)^2 + (3/8)^2 + (-4/8)^2 + (3/8)^2 + (-1/8)^2 + 0^2 + (1/8)^2 + (-1/8)^2 + (1/8)^2 , computamos
$$
\lVert v_1\rVert^2 = 0^2 + (1/8)^2 + (5/8)^2 + (3/8)^2 + (-4/8)^2 + (3/8)^2 + (-1/8)^2 + 0^2 + (1/8)^2 + (-1/8)^2 + (1/8)^2.
$$
Somando cada termo em décimos de 64:
$$
(1+25+9+16+9+1+1+1+1)/64 = 64/64 = 1.
$$
Logo (1+25+9+16+9+1+1+1+1)/64 = 64/64 = 1 , então é unitário.

Passo 4

Para lVert v2rVert^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3, , temos
$$
\lVert v_2\rVert^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3,
$$
logo . Portanto não é unitário.

Passo 5

Para lVert v3rVert^2 = (2/3)^2 + (-2/3)^2 + (1/3)^2 = 4/9 + 4/9 + 1/9 = 9/9 = 1 , calculamos
$$
\lVert v_3\rVert^2 = (2/3)^2 + (-2/3)^2 + (1/3)^2 = 4/9 + 4/9 + 1/9 = 9/9 = 1.
$$
Logo , o que mostra que é unitário.

Resposta

Os vetores unitários são v₁ e v₃.

Exercícios relacionados