Verifique quais dos seguintes vetores são unitários.
,
,
.
Passo 1
O problema pede pra verificar quais dos vetores dados têm comprimento igual a 1 (são unitários). O conteúdo que vamos usar é o cálculo da norma de um vetor em $\mathbb R^n$, que se baseia no produto escalar.
Passo 2
A norma (ou módulo) de um vetor
em $\mathbb R^n$ é definida por
$$
\lVert v\rVert = \\sqrt{v\cdot v} = \\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}.
$$
\lVert v\rVert = \\sqrt{v\cdot v} = \\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}.
$$
Para cada vetor, vamos calcular
e ver se isso é igual a 1.
Passo 3
Para
, computamos
$$
\lVert v_1\rVert^2 = 0^2 + (1/8)^2 + (5/8)^2 + (3/8)^2 + (-4/8)^2 + (3/8)^2 + (-1/8)^2 + 0^2 + (1/8)^2 + (-1/8)^2 + (1/8)^2.
$$
\lVert v_1\rVert^2 = 0^2 + (1/8)^2 + (5/8)^2 + (3/8)^2 + (-4/8)^2 + (3/8)^2 + (-1/8)^2 + 0^2 + (1/8)^2 + (-1/8)^2 + (1/8)^2.
$$
Somando cada termo em décimos de 64:
$$
(1+25+9+16+9+1+1+1+1)/64 = 64/64 = 1.
$$
(1+25+9+16+9+1+1+1+1)/64 = 64/64 = 1.
$$
Logo
, então
é unitário.
Passo 4
Para
, temos
$$
\lVert v_2\rVert^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3,
$$
\lVert v_2\rVert^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3,
$$
logo
. Portanto
não é unitário.
Passo 5
Para
, calculamos
$$
\lVert v_3\rVert^2 = (2/3)^2 + (-2/3)^2 + (1/3)^2 = 4/9 + 4/9 + 1/9 = 9/9 = 1.
$$
\lVert v_3\rVert^2 = (2/3)^2 + (-2/3)^2 + (1/3)^2 = 4/9 + 4/9 + 1/9 = 9/9 = 1.
$$
Logo
, o que mostra que
é unitário.
Resposta
Os vetores unitários são v₁ e v₃.