Exercício 12 Considere A in M2(R) fixada. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços ou não de M2(R).

Passo 1

Temos uma matriz A fixa em M2(R) e definimos o conjunto S = B in M2(R) : BA = 0. Queremos verificar se S é subespaço de M2(R). O teste de subespaço exige: (i) a matriz zero em S, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula 02 satisfaz 02 A = 02. Logo, 02 in S.

Passo 3

Tomemos B1,B2 in S tais que B1A = 0 e B2A = 0. Então
(B1 + B2)A = B1A + B2A = 0 + 0 = 0,
portanto B1 + B2in S, mostrando fechamento sob soma.

Passo 4

Para B in S e escalar c in R vale
(cB)A = c,(BA) = c,0 = 0,
então cB in S, mostrando fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto S = B in M2(R) : BA = 0 é subespaço de M2(R).

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