Exercício 12 Considere A in M2(R) fixada. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços ou não de M2(R).
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Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma matriz fixa AinM2(R) e estamos analisando o conjunto
S=BinM2(R);:;ABneq BA. O conteúdo é espaços vetoriais e subespaços; para verificar se S é subespaço, precisamos checar que ele não é vazio, contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Para mostrar que S não é subespaço, basta ver que o zero matriz não pertence a S. De fato, para a matriz zero 0 vale
A0=0=0A,
logo A0=0A e não A0neq0A. Assim 0notin S e o conjunto falha no critério de conter o zero vetor, logo não é subespaço.

Resposta

Não é subespaço de M2(R).

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