A soma de 3 números que são termos consecutivos de uma progressão geométrica é 70. Se multiplicarmos o
por 4 , o
por 5 e
por 4 , os números resultantes estão em progressão aritmética. Determine os respectivos números. (2,25v)
Passo 1
A questão trata de três termos consecutivos de uma progressão geométrica cuja soma é 70, e ao multiplicar o primeiro termo por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtemos termos em progressão aritmética. Para resolver, vamos usar a soma de termos de uma PG e a condição de três números estarem em PA.
Passo 2
Seja
o primeiro termo e
a razão da PG. Então os três termos são
,
e
. A soma deles é dada por
Passo 3
Ao multiplicar os termos por 4, 5 e 4, respectivamente, obtemos
,
e
. Para que esses três números estejam em PA, o dobro do termo do meio deve ser igual à soma dos extremos, ou seja,
Passo 4
Simplificando a condição da PA, dividimos ambos os lados por 2 e por
(assumindo
), resultando em
que é a equação quadrática
Resolvendo-a, obtemos as raízes
e
.
Passo 5
Substituindo cada valor de
na soma da PG para encontrar
:
Para , temos
e
Para
Para
Passo 6
Assim, os três termos são:
- Para
: , , . - Para
: , , .
Resposta
Os números são
(quando
) ou
(quando
).