A soma de 3 números que são termos consecutivos de uma progressão geométrica é 70. Se multiplicarmos o 1^circ por 4 , o 2^circ por 5 e 3^circ por 4 , os números resultantes estão em progressão aritmética. Determine os respectivos números. (2,25v)

Passo 1

A questão trata de três termos consecutivos de uma progressão geométrica cuja soma é 70, e ao multiplicar o primeiro termo por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtemos termos em progressão aritmética. Para resolver, vamos usar a soma de termos de uma PG e a condição de três números estarem em PA.

Passo 2

Seja a o primeiro termo e r a razão da PG. Então os três termos são a, ar e ar^2. A soma deles é dada por
a + ar + ar^2 = 70

Passo 3

Ao multiplicar os termos por 4, 5 e 4, respectivamente, obtemos 4a, 5ar e 4ar^2. Para que esses três números estejam em PA, o dobro do termo do meio deve ser igual à soma dos extremos, ou seja,
2 cdot (5ar) = 4a + 4ar^2

Passo 4

Simplificando a condição da PA, dividimos ambos os lados por 2 e por a (assumindo aneq 0), resultando em
5r = 2 + 2r^2
que é a equação quadrática
2r^2 - 5r + 2 = 0
Resolvendo-a, obtemos as raízes r = 2 e r = tfrac12.

Passo 5

Substituindo cada valor de r na soma da PG para encontrar a:
Para r = 2, temos 1 + 2 + 4 = 7 e
7a = 70 implies a = 10
Para r = tfrac12, temos 1 + tfrac12 + tfrac14 = tfrac74 e
tfrac74a = 70 implies a = 40

Passo 6

Assim, os três termos são:
  • Para r = 2: 10, 10 cdot 2 = 20, 10 cdot 2^2 = 40.
  • Para r = tfrac12: 40, 40 cdot tfrac12 = 20, 40 cdot (tfrac12)^2 = 10.

Resposta

Os números são 10, 20, 40 (quando r = 2) ou 40, 20, 10 (quando r = tfrac12).

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