Determine os valores de a e b parar os quais o limite abaixo exista. Em seguida, determine o valor do limite.
lim x +infty(3 x^2+b x-1x+2-a x)

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de a e b para que o limite xto+infty de
3x^2+b x-1x+2-a x
exista e, em seguida, calcular esse limite. Vamos usar divisão de polinômios e propriedades de limites em infinito.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a divisão de 3x^2+b x-1 por x+2. Longa divisão dá:
3x^2+b x-1x+2=3x+(b-6)+11-2bx+2

Passo 3

Substituindo no limite temos
3x^2+b x-1x+2-a x=(3-a)x+(b-6)+11-2bx+2
Quando xto+infty, o termo (11-2b)/(x+2) tende a 0, mas o termo (3-a)x vai a infinito a menos que seu coeficiente seja zero.

Passo 4

Para o limite ser finito, exige-se
3-a=0Rightarrow a=3
Com isso o limite passa a ser
(b-6)+0=b-6

Resposta

a = 3 para qualquer b, e o valor do limite é b - 6.

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