Explique como o método dos multiplicadores de Lagrange funciona para determinar os valores extremos de f(x, y) sujeita à restrição g(x, y)=0.

Passo 1

O problema pede para encontrar máximos ou mínimos de uma função de duas variáveis f(x,y) quando as variáveis devem satisfazer uma restrição g(x,y)=0. O conteúdo é o método de multiplicadores de Lagrange, que combina derivadas parciais de f e g para achar candidatos a extremos sob a curva definida por g(x,y)=0.

Passo 2

Introduzimos a função de Lagrange L(x,y,lambda), que reúne f e a restrição g através de um novo parâmetro lambda (o multiplicador de Lagrange). Definimos
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda,g(x,y)

Passo 3

O próximo passo é achar pontos estacionários de L. Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=fx(x,y)-lambda,gx(x,y)=0,
partialLpartial y=fy(x,y)-lambda,gy(x,y)=0,
partialLpartiallambda=-g(x,y)=0

Passo 4

Essas três equações formam um sistema em x,y,lambda. Ao resolver esse sistema, obtemos os pontos candidatos (x,y) que satisfazem simultaneamente nabla f=lambda,nabla g e g(x,y)=0.

Passo 5

Para cada ponto candidato, podemos verificar se é máximo ou mínimo usando, por exemplo, o teste da Hessiana restrita (ou analisando o sinal da segunda derivada num sentido tangente à curva g(x,y)=0).

Passo 6

Em resumo, o método transforma o problema com restrição em um sistema de equações algébricas que combina gradientes, permitindo encontrar pontos extremos de f sobre a curva g=0.

Resposta

Os extremos de f(x,y) sujeitos a g(x,y)=0 aparecem como soluções do sistema
$$
\nabla f(x,y)=\lambda,\nabla g(x,y),
\quad
g(x,y)=0,
$$
ou seja, onde o gradiente de nabla f(x,y)=lambda,nabla g(x,y), g(x,y)=0, é paralelo ao gradiente de f. Esses pontos são então classificados (máximo ou mínimo) por um teste de segunda ordem restrito.

Exercícios relacionados