Explique como o método dos multiplicadores de Lagrange funciona para determinar os valores extremos de
sujeita à restrição
.
Passo 1
O problema pede para encontrar máximos ou mínimos de uma função de duas variáveis
quando as variáveis devem satisfazer uma restrição
. O conteúdo é o método de multiplicadores de Lagrange, que combina derivadas parciais de
e
para achar candidatos a extremos sob a curva definida por
.
Passo 2
Introduzimos a função de Lagrange
, que reúne
e a restrição
através de um novo parâmetro
(o multiplicador de Lagrange). Definimos
Passo 3
O próximo passo é achar pontos estacionários de
. Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Essas três equações formam um sistema em
. Ao resolver esse sistema, obtemos os pontos candidatos
que satisfazem simultaneamente
e
.
Passo 5
Para cada ponto candidato, podemos verificar se é máximo ou mínimo usando, por exemplo, o teste da Hessiana restrita (ou analisando o sinal da segunda derivada num sentido tangente à curva
).
Passo 6
Em resumo, o método transforma o problema com restrição em um sistema de equações algébricas que combina gradientes, permitindo encontrar pontos extremos de
sobre a curva
.
Resposta
Os extremos de
sujeitos a
aparecem como soluções do sistema
$$
\nabla f(x,y)=\lambda,\nabla g(x,y),
\quad
g(x,y)=0,
\nabla f(x,y)=\lambda,\nabla g(x,y),
\quad
g(x,y)=0,
$$
ou seja, onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de
. Esses pontos são então classificados (máximo ou mínimo) por um teste de segunda ordem restrito.
ou seja, onde o gradiente de