Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
(a) [ll0 & 1 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede os valores próprios e os vetores próprios (em C^2) da matriz
A = 0 & 1 [6pt] 0 & 0,
bem como a multiplicidade algébrica (definida pela raiz do polinômio característico) e a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) de cada valor próprio. Para isso, vamos calcular o polinômio característico det(A-lambda I) e, em seguida, determinar os autovetores resolvendo (A-lambda I)x=0.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det-lambda & 1[4pt]0 & -lambda = (-lambda),(-lambda) - 0cdot1 = lambda^2
Logo, o único valor próprio é
lambda = 0
com multiplicidade algébrica igual a 2 (pois a raiz zero aparece duas vezes em lambda^2).]

Passo 3

Para encontrar o espaço próprio relativo a lambda=0, resolvemos
(A - 0cdot I),x = A,x = 0,
isto é,
0 & 1[4pt]0 & 0 x1[3pt]x2 = x2[3pt]0 = 0[3pt]0
Da primeira linha vem x2=0, e a segunda linha não impõe restrição adicional. Assim os vetores próprios são todos os múltiplos de
1[3pt]0,
o que significa que o espaço próprio tem dimensão 1. Portanto, a multiplicidade geométrica de lambda=0 é 1.]

Resposta

O único valor próprio é lambda=0 com:
– multiplicidade algébrica igual a 2;
– multiplicidade geométrica igual a 1.
O espaço próprio associado é
ker(A) = l,t,(1,0)^T : tinCr,
ou seja, todos os vetores não‐nulos proporcionais a 10.

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