Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de
.
é o conjunto dos polinômios de grau
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais e grau
, e que
Queremos ver se
satisfaz os três critérios de subespaço vetorial: contém o vetor zero, fechamento em soma e em multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação do vetor zero:
O polinômio zero tem grau
(ou pode-se dizer grau menor que qualquer
). Logo
O polinômio zero
pois
. Isso já basta para rejeitar
como subespaço, mas vamos ver os outros pontos.
Passo 3
Fechamento em adição:
Se então
. Mas ao somar pode ocorrer cancelamento do termo de grau
:
Se
Portanto
em geral, falhando o fechamento.
Passo 4
Fechamento em multiplicação escalar:
Para e escalar
temos
Para
Logo não há fechamento para todos os escalares.
Passo 5
Como
não contém o vetor zero e não é fechado nem em soma nem em multiplicação escalar, concluímos que
não é subespaço de
.