Seja V=Pn(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de V.
W é o conjunto dos polinômios de grau n

Passo 1

O enunciado diz que V = Pn(R) é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais e grau <= n, e que
W = ,pin V mid deg(p)=n
Queremos ver se W satisfaz os três critérios de subespaço vetorial: contém o vetor zero, fechamento em soma e em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero:
O polinômio zero 0 tem grau deg(0)=-infty (ou pode-se dizer grau menor que qualquer n). Logo
0notin W,
pois deg(0)neq n. Isso já basta para rejeitar W como subespaço, mas vamos ver os outros pontos.

Passo 3

Fechamento em adição:
Se p,qin W então deg(p)=deg(q)=n. Mas ao somar pode ocorrer cancelamento do termo de grau n:
p(x)=anx^n+dots, q(x)=-anx^n+dots Longrightarrow (p+q)(x) tem grau <n
Portanto p+qnotin W em geral, falhando o fechamento.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar:
Para pin W e escalar alpha=0 temos
0cdot p=0notin W
Logo não há fechamento para todos os escalares.

Passo 5

Como W não contém o vetor zero e não é fechado nem em soma nem em multiplicação escalar, concluímos que W não é subespaço de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados