Verifique, em cada caso, se o conjunto W dado é um subespaço de M(3 times 3, R) :
W=A in M(3 times 3, R): A^2=A;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = Ain M(3times3,R) mid A^2 = A
é um subespaço de M(3times3,R).
Para isso precisamos usar a definição de subespaço vetorial:
  1. não estar vazio (ou conter o vetor zero),
  2. ser fechado sob soma,
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o conjunto não é vazio porque a matriz zero 0 satisfaz
0^2 = 0,
logo 0in W.

Passo 3

Agora testamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja Ain W e lambdainR. Então
(lambda A)^2 = lambda^2 A^2 = lambda^2 A,
mas para lambda A ser idempotente precisamos (lambda A)^2 = lambda A, ou seja
lambda^2 A = lambda A Longrightarrow (lambda^2 - lambda)A = 0
Para uma Aneq 0 genérica isso exige lambda^2 - lambda = 0, ou seja lambda=0 ou lambda=1.

Passo 4

Isso mostra que, se escolhermos por exemplo lambda=2 e qualquer Ain W com Aneq0, então 2Anotin W. Logo não há fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço de M(3times3,R).

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