Seja V=Pn(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de V.
W=Pn(Z)

Passo 1

O enunciado diz que V = Pn(R) é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais, e define
W = Pn(Z)
como o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n cujos coeficientes são todos inteiros. Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
  1. O polinômio zero pertence a W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares (em R).

Passo 2

Verificamos o polinômio zero. O polinômio zero é
0(x) = 0 + 0x + cdots + 0x^n
e todos os coeficientes são inteiros ( 0inZ). Logo,
0(x)in W

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam
p(x) = a0 + a1x + cdots + anx^n, q(x) = b0 + b1x + cdots + bnx^n
com ai,biinZ. Então
p(x) + q(x) = (a0+b0) + (a1+b1)x + cdots + (an+bn)x^n
e como soma de inteiros é inteiro, cada ai+biinZ. Portanto p+qin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Tome um escalar lambdainR e um polinômio
p(x) = a0 + a1x + cdots + anx^n
com aiinZ. Então
lambda,p(x) = (lambda a0) + (lambda a1)x + cdots + (lambda an)x^n
Para lambdanotinZ, em geral lambda ainotinZ, ou seja lambda pnotin W. Por exemplo, com p(x)=x e lambda=tfrac12 obtemos tfrac12x que não tem coeficientes inteiros. Logo não há fechamento para escalares em R.

Resposta

W = Pn(Z) não é subespaço vetorial de V, pois não é fechado sob multiplicação por escalares em R.

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