Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes reais, e define
como o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
cujos coeficientes são todos inteiros. Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
- O polinômio zero pertence a
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalares (em ).
Passo 2
Verificamos o polinômio zero. O polinômio zero é
e todos os coeficientes são inteiros (
). Logo,
Passo 3
Fechamento sob adição. Sejam
com
. Então
e como soma de inteiros é inteiro, cada
. Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Tome um escalar
e um polinômio
com
. Então
Para
, em geral
, ou seja
. Por exemplo, com
e
obtemos
que não tem coeficientes inteiros. Logo não há fechamento para escalares em
.