Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
(c) [lll1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1]

Passo 1

Resumindo: temos a matriz
A=1&1&11&1&11&1&1
e queremos encontrar os valores próprios lambda, os vectores próprios x e, para cada lambda, as multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos usar a definição de valor próprio dada por
det(A - lambda I)=0
e depois resolver (A-lambda I)x=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico. Como
A-lambda I =1-lambda&1&11&1-lambda&11&1&1-lambda,
podemos expandir a determinante e obter
det(A-lambda I) =-(lambda-3),lambda^2
As raízes são pois lambda=3 (multiplicidade algébrica 1) e lambda=0 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para lambda=3 resolvemos
(A-3I)x=0 Longrightarrow -2&1&11&-2&11&1&-2x=0
As três equações levam todas a x1=x2=x3. Logo o espaço próprio é
span(1,1,1),
de dimensão 1. Portanto a multiplicidade geométrica de lambda=3 é 1.

Passo 4

Para lambda=0 resolvemos
Ax=0 Longrightarrow 1&1&11&1&11&1&1x=0,
que reduz à única condição x1+x2+x3=0. Isso deixa dois graus de liberdade, logo o espaço próprio tem dimensão 2. Uma base conveniente é
(1,-1,0) e (1,0,-1). Assim a multiplicidade geométrica de lambda=0 é 2.

Resposta

lambda=3 com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1, vetor próprio (1,1,1).
lambda=0 com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2, vetores próprios (1,-1,0) e (1,0,-1).

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