Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
(b) [ll1 & 0 0 & i]

Passo 1

O enunciado pede os valores próprios (autovalores) e vectores próprios (autovectores) da matriz
A = 1 & 0 0 & i,
além de identificar em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos usar o facto de ser uma matriz diagonal para simplificar tudo.

Passo 2

Para encontrar os valores próprios calculamos o polinómio característico
detl(A - lambda Ir) = det1-lambda & 0 0 & i-lambda = (1-lambda),(i-lambda)
Igualando a zero temos as raízes
lambda1 = 1, lambda2 = i
Cada raiz surge uma vez no polinómio, logo cada uma tem multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 3

Para lambda1=1 calculemos o espaço próprio, ou seja, a solução de
l(A - 1cdot Ir)v = 0
Temos
A - I = 0 & 0 0 & i-1,
e a equação dá o sistema
0cdot x + 0cdot y = 0, 0cdot x + (i-1),y = 0
Da segunda equação vem (i-1)y=0implies y=0. Então os vectores próprios são todos os múltiplos de
v1 = 1 0
A dimensão deste espaço próprio (multiplicidade geométrica) é 1.

Passo 4

Para lambda2 = i fazemos
A - i,I = 1-i & 0 0 & 0,
e o sistema
(1-i),x + 0cdot y = 0, 0cdot x + 0cdot y = 0
Da primeira equação segue x=0. Logo os vectores próprios são todos os múltiplos de
v2 = 0 1
Também aqui a multiplicidade geométrica é 1.

Passo 5

Resumindo, cada valor próprio tem multiplicidade algébrica 1 e o espaço próprio correspondente tem dimensão 1, logo a multiplicidade geométrica também é 1.

Resposta

lambda1 = 1, multiplicidade algébrica 1, espaço próprio gerado por
10,
multiplicidade geométrica 1.
lambda2 = i, multiplicidade algébrica 1, espaço próprio gerado por
01,
multiplicidade geométrica 1.

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