Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
(d)
Passo 1
O enunciado pede os valores próprios e vectores próprios (complexos) da matriz
A= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
além de identificar, para cada valor próprio, as multiplicidades algébrica e geométrica. O conteúdo é autovalores e autovetores de matrizes, e usaremos que, para matriz triangular, os autovalores são as entradas da diagonal, a multiplicidade algébrica é a sua frequência na diagonal, e a multiplicidade geométrica é a dimensão do núcleo de A-lambda I.
Passo 2
Como A é triangular superior, os autovalores são as entradas da diagonal, todas iguais a 1. Logo existe apenas um valor próprio
lambda=1
com multiplicidade algébrica igual ao número de vezes que aparece na diagonal, isto é,
mu< algébrica(lambda=1)=3 é
Passo 3
Para achar a multiplicidade geométrica e os autovetores resolvemos
Temos
de modo que, se
implica o sistema
Da segunda equação vem , ficando livre.
Passo 4
O espaço próprio correspondente a lambda=1 é
ker(A-I) =l(x,0,0)^Tmid xinCr
que tem dimensão 1. Portanto
mu< >=ométrica(lambda=1)=1 é
e os autovetores são todos os múltiplos de ,(1,0,0)^T.
Resposta
O único valor próprio é lambda=1 com multiplicidade algébrica igual a 3 e multiplicidade geométrica igual a 1.
O espaço próprio é span(1,0,0)^T.