Verifique, em cada caso, se o conjunto W dado é um subespaço de M(3 times 3, R) :
W=A in M(3 times 3, R): A^t=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
W = A in M(3times3,R) mid A^t=A
é um subespaço de M(3times3,R).
Lembrando que para ser subespaço precisamos verificar:
  1. W não é vazio (contém a matriz zero).
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero O pertence a W.
A matriz zero satisfaz
O^t=O
logo Oin W.
Assim, W não é vazio.

Passo 3

Mostramos fechamento sob adição.
Sejam A,Bin W. Então
A^t=A e B^t=B
Então
(A+B)^t = A^t+B^t = A + B,
logo A+Bin W.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja Ain W e lambdainR. Então
A^t=A
implica
(lambda A)^t = lambda,A^t = lambda A,
logo lambda Ain W.

Resposta

W é subespaço de M(3times3,R).

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