Prove que os espaços vetoriais
e
admitem uma decomposição em soma direta de subespaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre que os espaços vetoriais
(matrizes
) e
podem ser escritos como soma direta de dois subespaços próprios. O conteúdo que vamos usar é a definição de soma direta: para subespaços
e
de
, dizemos que
se (i)
e (ii)
.
Passo 2
No caso de
, definimos
o subespaço das matrizes simétricas, e
o subespaço das matrizes antissimétricas. É fácil ver que
e
são subespaços: fecham sob soma e multiplicação escalar porque a condição
se preserva.
Passo 3
Para mostrar que
, tomamos qualquer matriz
e escrevemos
Então
e
, logo
e
. Além disso
prova que
gera todo
.
Passo 4
Para a interseção, se
então
e
. Somando essas duas igualdades obtemos
, ou seja,
. Logo
e concluímos
Passo 5
No caso de
, definimos
o subespaço das funções pares, e
o subespaço das funções ímpares. Também é claro que
e
são subespaços (as condições pares/ímpares se mantêm em somas e escalares).
Passo 6
Para ver que
, dado
definimos
Então
,
e
Passo 7
Se
, então
e
. Assim
para todo
, isto é
. Logo
e concluímos
Resposta
Em
temos a soma direta entre matrizes simétricas e antissimétricas:
Em
temos a soma direta entre funções pares e ímpares: