Prove que os espaços vetoriais V=Mn e V=f: R longrightarrow R admitem uma decomposição em soma direta de subespaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que os espaços vetoriais Mn (matrizes ntimes n) e f:RtoR podem ser escritos como soma direta de dois subespaços próprios. O conteúdo que vamos usar é a definição de soma direta: para subespaços U e W de V, dizemos que
V = U oplus W
se (i) U+W = V e (ii) Ucap W = 0.

Passo 2

No caso de V=Mn, definimos
U = Ain Mnmid A^T=A
o subespaço das matrizes simétricas, e
W = Ain Mnmid A^T=-A
o subespaço das matrizes antissimétricas. É fácil ver que U e W são subespaços: fecham sob soma e multiplicação escalar porque a condição A^T=pm A se preserva.

Passo 3

Para mostrar que U+W=Mn, tomamos qualquer matriz Ain Mn e escrevemos
S = A + A^T2, K = A - A^T2
Então S^T = S e K^T = -K, logo Sin U e Kin W. Além disso
S + K = A + A^T2 + A - A^T2 = A,
prova que U+W gera todo Mn.

Passo 4

Para a interseção, se Xin Ucap W então X^T=X e X^T=-X. Somando essas duas igualdades obtemos 2X=0, ou seja, X=0. Logo Ucap W=0 e concluímos
Mn = U oplus W

Passo 5

No caso de V=f:RtoR, definimos
E = fmid f(-x)=f(x)
o subespaço das funções pares, e
O = fmid f(-x)=-f(x)
o subespaço das funções ímpares. Também é claro que E e O são subespaços (as condições pares/ímpares se mantêm em somas e escalares).

Passo 6

Para ver que E+O=V, dado fcolonRtoR definimos
fpar(x) = f(x)+f(-x)2, fímpar(x) = f(x)-f(-x)2 í
Então fparin E, fímparin Oí e
fpar(x) + fímpar(x) = f(x)+f(-x)2 + f(x)-f(-x)2 = f(x) í

Passo 7

Se gin Ecap O, então g(-x)=g(x) e g(-x)=-g(x). Assim g(x)=-g(x) para todo x, isto é g(x)=0. Logo Ecap O=0 e concluímos
f:RtoR = E oplus O

Resposta

Em Mn temos a soma direta entre matrizes simétricas e antissimétricas:
Mn = Amid A^T=A oplus Amid A^T=-A
Em f:RtoR temos a soma direta entre funções pares e ímpares:
f = fmid f(-x)=f(x) oplus fmid f(-x)=-f(x)

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