Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
P 9.4. Seja a matriz \[].
a) Determine os valores próprios e os vectores próprios da transformação linear que é representada por em relação à base canónica.
b) Determine os valores próprios e os vectores próprios da transformação linear que é representada por em relação à base canónica.
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores (valores próprios) e autovetores (vectores próprios) da matriz
em dois contextos:
– (a) sobre R^2, ou seja, para a transformação Tcolon R^2toR^2.
– (b) sobre C^2, ou seja, para a transformação Scolon C^2toC^2.
Vamos usar o polinômio característico e resolver em R e depois em C, identificando as multiplicidades algébrica e geométrica.
Em R, a equação lambda^2 + 1 = 0
não tem solução (discriminante -4<0). Logo, T não tem autovalores reais nem autovetores não-triviais em R^2.
Passo 4
Em C, resolvemos lambda^2 + 1 = 0
e obtemos os dois autovalores
lambda1 = i, lambda2 = -i
Passo 5
Para lambda1 = i, resolvemos (A - iI)v=0.
Isso dá o sistema
(1 - i)x + 2y = 0, -,x +(-1 - i)y = 0,
que é equivalente a
y = -1 - i2,x
Escolhendo x=2, um autovetor é
v1 = 2 -1 + i
Passo 6
Para lambda2 = -i, resolvemos (A + iI)v=0.
O sistema é
(1 + i)x + 2y = 0, -,x +(-1 + i)y = 0,
levando a
y = -1 + i2,x
Tomando x=2, um autovetor é
v2 = 2 -1 - i
Passo 7
As multiplicidades em C são, para cada autovalor lambda1 e lambda2:
– Multiplicidade algébrica: 1 (cada raiz simples de lambda^2+1).
– Multiplicidade geométrica: 1 (há um autovetor não-trivial para cada lambda).
Resposta
a) Sobre R^2, não há soluções reais de lambda^2 + 1 = 0. Logo T não tem autovalores nem autovetores em R^2.
b) Sobre C^2, os autovalores são
lambda1 = i, lambda2 = -i,
cada um com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Autovetores correspondentes:
v1 = 2 -1 + i para lambda1 = i, v2 = 2 -1 - i para lambda2 = -i