P 9.5. Uma matriz
diz-se matriz de rotação se é ortogonal e det
. Mostre que uma rotação num espaço de dimensão ímpar deixa fixos os vectores de pelo menos um subespaço de dimensão 1 (eixo de rotação) - isto é, +1 é valor próprio de
. (Sug.: considere
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é ortogonal (
) e
em espaço de dimensão ímpar
, então
é valor próprio de
. Vamos usar a dica e olhar para o determinante de
.
Passo 2
Como
é ortogonal, temos
. Então
Passo 3
Reescrevendo
temos
Passo 4
Como
implica
, obtemos
Para
ímpar,
, logo
Passo 5
Isto mostra que
é valor próprio de
, ou seja, há um subespaço de dimensão
(o “eixo de rotação”) fixado por
.
Resposta
Mostramos que
quando
é ímpar e
, o que garante que
é valor próprio de
.