P 9.5. Uma matriz R diz-se matriz de rotação se é ortogonal e det R=1. Mostre que uma rotação num espaço de dimensão ímpar deixa fixos os vectores de pelo menos um subespaço de dimensão 1 (eixo de rotação) - isto é, +1 é valor próprio de R. (Sug.: considere det(R-I).)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se R é ortogonal ( R^T R=I) e det R=1 em espaço de dimensão ímpar n, então +1 é valor próprio de R. Vamos usar a dica e olhar para o determinante de R-I.

Passo 2

Como R é ortogonal, temos R^T=R^-1. Então
det(R-I) =detl(R^T-Ir) =detl(R^-1-Ir)

Passo 3

Reescrevendo
R^-1-I =-,R^-1(,R-I,),
temos
det(R^-1-I) =detl(-R^-1(R-I)r) =(-1)^ndet(R^-1),det(R-I)

Passo 4

Como det R=1 implica det(R^-1)=1, obtemos
det(R-I) =det(R^-1-I) =(-1)^ndet(R-I)
Para n ímpar, (-1)^n=-1, logo
det(R-I)=-det(R-I) Longrightarrow det(R-I)=0

Passo 5

det(R-I)=0 diz que a matriz R-I é singular, isto é, existe vetor não nulo v tal que
(R-I)v=0 Longrightarrow Rv=v
Isto mostra que +1 é valor próprio de R, ou seja, há um subespaço de dimensão 1 (o “eixo de rotação”) fixado por R.

Resposta

Mostramos que det(R-I)=0 quando n é ímpar e det R=1, o que garante que +1 é valor próprio de R.

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