P 9.3. Sejam A e B matrizes n times n com coeficientes num corpo. Mostre que se I-A B é não-singular, então I-B A é não-singular e
(I-B A)^-1=I+B(I-A B)^-1 A

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes ntimes n sobre um corpo e que I - AB é inversível. Precisamos mostrar que então I - BA também é inversível e que sua inversa é
(I - BA)^-1 ;=; I ;+; B,(I - AB)^-1A
O conteúdo aqui é encontrar explicitamente um inverso para I - BA por meio de multiplicações de matrizes e usar o fato de que (I-AB)^-1 existe.

Passo 2

Definimos a matriz candidata a ser o inverso de I - BA por
M ;=; I ;+; B,(I - AB)^-1A
Vamos verificar primeiro que M é inverso à direita de I - BA. Calculemos
M,(I - BA) =l(I + B,(I-AB)^-1Ar),(I - BA)
Usando distributividade e associatividade,
M,(I - BA) = I,(I - BA);+;B,(I-AB)^-1A,(I - BA) = I - BA + B,(I-AB)^-1l(A - ABAr)
Como A - ABA = A,(I - BA), reagrupamos
B,(I-AB)^-1l(A - ABAr) = B,(I-AB)^-1(I - AB),A = B,I,A = BA
Logo
M,(I - BA) = (I - BA) + BA = I

Passo 3

Agora verificamos que M também é inverso à esquerda de I - BA. Calculamos
(I - BA),M =(I - BA)l(I + B,(I-AB)^-1Ar) =I - BA + (I - BA),B,(I-AB)^-1A
Observe que (I - BA),B = B - BAB = B,(I - AB). Assim
(I - BA),B,(I-AB)^-1A = B,(I-AB),(I-AB)^-1A = BA
Portanto
(I - BA),M = (I - BA) + BA = I

Passo 4

Como M é inverso à direita e à esquerda de I - BA, concluímos que I - BA é não-singular (inversível) e
(I - BA)^-1 = M = I + B,(I - AB)^-1A

Resposta

(I - BA)^-1 = I + B,(I - AB)^-1A

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