P 9.3. Sejam
e
matrizes
com coeficientes num corpo. Mostre que se
é não-singular, então
é não-singular e
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes
sobre um corpo e que
é inversível. Precisamos mostrar que então
também é inversível e que sua inversa é
O conteúdo aqui é encontrar explicitamente um inverso para
por meio de multiplicações de matrizes e usar o fato de que
existe.
Passo 2
Definimos a matriz candidata a ser o inverso de
por
Vamos verificar primeiro que
é inverso à direita de
. Calculemos
Usando distributividade e associatividade,
Como
, reagrupamos
Logo
Passo 3
Agora verificamos que
também é inverso à esquerda de
. Calculamos
Observe que
. Assim
Portanto
Passo 4
Como
é inverso à direita e à esquerda de
, concluímos que
é não-singular (inversível) e