Escreva o polinômio p(t)=t^3+4 t^2+t+1 como combinação linear dos polinômios p1(t)=t^3+t-2, p2(t)=-t^2+2 t+4, p3(t)=t+5.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
p(t)=t^3+4t^2+t+1
como combinação linear dos polinômios
p1(t)=t^3+t-2, p2(t)=-t^2+2t+4, p3(t)=t+5
O conteúdo aqui é verificar se p pertence ao subespaço gerado por p1,p2,p3 em R3[t] e, em caso afirmativo, encontrar coeficientes a,b,c.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)=p(t)
Isto é,
a,(t^3+t-2)+b,(-t^2+2t+4)+c,(t+5)=t^3+4t^2+t+1

Passo 3

Agrupando coeficientes de cada potência de t no lado esquerdo, obtemos
a,t^3+(-b),t^2+(a+2b+c),t+(-2a+4b+5c) =t^3+4t^2+t+1
Igualando coeficientes, formamos o sistema
a=1, -b=4, a+2b+c=1, -2a+4b+5c=1

Passo 4

Das duas primeiras equações vem
a=1, b=-4
Substituindo em a+2b+c=1
1+2(-4)+c=1;Longrightarrow;c=8

Passo 5

Finalmente, na equação dos termos constantes temos
-2a+4b+5c=-2cdot1+4(-4)+5cdot8=-2-16+40=22neq1
Como não satisfaz o valor constante exigido, o sistema é inconsistente. Logo não existem a,b,c que façam a combinação.

Resposta

Não existe a,b,cinR tais que
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)=p(t),
isto é, p(t) não pertence ao subespaço gerado por p1,p2,p3.

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