Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
P 9.6. Seja A=[rr-25 & -36 18 & 26].
a) Mostre que existe uma matriz P tal que P^-1 A P é diagonal.
b) Determine os valores próprios e vectores próprios de A^10.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores próprios e vetores próprios de
A = -25 & -36 [6pt] 18 & 26
e mostrar que existe P invertível tal que P^-1AP seja diagonal. Em seguida, usar isso para obter os valores próprios e vetores próprios de A^10. Vamos usar teoria de autovalores: calcular o polinômio característico, suas raízes (valores próprios), depois resolver (A-lambda I)v=0 (autovetores) e concluir diagonalização.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det-25-lambda & -36 [4pt] 18 & 26-lambda = (-25-lambda)(26-lambda) -(-36)(18)
Expandindo,
(-25-lambda)(26-lambda) = lambda^2 -lambda -650, -(-36)(18)=+648,
logo
det(A - lambda I) =lambda^2 -lambda -650 +648 =lambda^2 -lambda -2
As raízes de lambda^2-lambda-2=0 são
lambda = 1pmraiz1+82 = 1pm32,
isto é,
lambda1 = 2, lambda2 = -1
Como são distintos, a multiplicidade algébrica de cada um é 1 e a geométrica também será 1, garantindo diagonalização.]

Passo 3

Encontre um autovetor para . Resolvemos
Da primeira linha obtemos , logo . Um autovetor conveniente é
]

Passo 4

Encontre um autovetor para . Resolvemos
Da primeira linha vem , logo . Um autovetor conveniente é
]

Passo 5

Como temos dois autovalores distintos com um autovetor independente cada, podemos formar
P = l[v1;;v2r] = 4 & 3 -3 & -2,
de modo que
P^-1AP = 2 & 0[4pt] 0 & -1
Isso mostra que A é diagonalizável.]

Passo 6

Para A^10, basta elevar os autovalores à décima potência mantendo os mesmos autovetores. Assim,
valores próprios de A^10: 2^10=1024, (-1)^10=1, ó
cada um com multiplicidade algébrica e geométrica igual a 1, e os vetores próprios são os mesmos v1 e v2.

Resposta

a) Os autovalores de A são lambda1=2 e lambda2=-1, cada um com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Autovetores:
v1 = 4-3 para lambda1=2, v2 = 3-2 para lambda2=-1
Logo existe P invertível que diagonaliza A.
b) Os autovalores de A^10 são 2^10=1024 e (-1)^10=1, com os mesmos vetores próprios v1 e v2.

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