Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
P 9.7. a) Forneça um exemplo de uma matriz de inteiros
cujos valores próprios sejam irracionais.
b) Podem a soma e/ou o produto dos valores próprios de uma matriz
de entradas racionais ser irracionais?
P 9.7. a) Forneça um exemplo de uma matriz de inteiros
b) Podem a soma e/ou o produto dos valores próprios de uma matriz
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) devemos exibir um exemplo de matriz
de entradas inteiras cujos autovalores sejam irracionais e, para esse exemplo, calcular os autovalores, os autovetores (complexos) e indicar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor. Na parte (b) devemos discutir se, para uma matriz
de entradas racionais, a soma e/ou o produto dos seus autovalores podem ser irracionais. Para a parte (a) usaremos o polinômio característico
e resolução de sistemas lineares; para a parte (b) usaremos as propriedades de traço e determinante de uma matriz.
Passo 2
Escolhemos a matriz de inteiros
O polinômio característico é
As raízes desse polinômio são
que são irracionais.]
Passo 3
Para
resolvemos
Da primeira linha vem
, ou seja
. Tomando
, um autovetor associado é
Como
é raiz simples do polinômio característico, sua multiplicidade algébrica é
, e encontramos um único vetor-linha livre, logo a multiplicidade geométrica também é
.
Para
resolvemos
que dá
, isto é
. Tomando
, um autovetor é
Novamente
é raiz simples, de multiplicidade algébrica
e geométrica
.]
Passo 4
Para uma matriz
de entradas racionais vale sempre que a soma dos autovalores é igual ao traço da matriz e o produto dos autovalores é igual ao determinante da matriz. Como traço e determinante de uma matriz racional são números racionais, segue que nem a soma nem o produto dos autovalores podem ser irracionais.
Resposta
Um exemplo é
cujo polinômio característico
dá autovalores
e
, ambos de multiplicidade algébrica
e geométrica
. Autovetores correspondentes podem ser
e
.
Quanto à parte (b), não: para matriz de entradas racionais, soma dos autovalores traço racional e produto
determinante racional, logo ambos são racionais.
Quanto à parte (b), não: para matriz de entradas racionais, soma dos autovalores