Determine os valores próprios e vectores próprios (complexos) de cada uma das seguintes matrizes, identificando em cada caso as multiplicidades algébrica e geométrica:
P 9.7. a) Forneça um exemplo de uma matriz de inteiros 2 times 2 cujos valores próprios sejam irracionais.
b) Podem a soma e/ou o produto dos valores próprios de uma matriz n times n de entradas racionais ser irracionais?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) devemos exibir um exemplo de matriz 2times2 de entradas inteiras cujos autovalores sejam irracionais e, para esse exemplo, calcular os autovalores, os autovetores (complexos) e indicar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor. Na parte (b) devemos discutir se, para uma matriz ntimes n de entradas racionais, a soma e/ou o produto dos seus autovalores podem ser irracionais. Para a parte (a) usaremos o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e resolução de sistemas lineares; para a parte (b) usaremos as propriedades de traço e determinante de uma matriz.

Passo 2

Escolhemos a matriz de inteiros
A=0 & 1[6pt]2 & 0
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det-lambda & 1[3pt]2 & -lambda =lambda^2-2
As raízes desse polinômio são
lambda=pmraiz2,
que são irracionais.]

Passo 3

Para resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja . Tomando , um autovetor associado é
Como é raiz simples do polinômio característico, sua multiplicidade algébrica é , e encontramos um único vetor-linha livre, logo a multiplicidade geométrica também é .
Para resolvemos
que dá , isto é . Tomando , um autovetor é
Novamente é raiz simples, de multiplicidade algébrica e geométrica .]

Passo 4

Para uma matriz ntimes n de entradas racionais vale sempre que a soma dos autovalores é igual ao traço da matriz e o produto dos autovalores é igual ao determinante da matriz. Como traço e determinante de uma matriz racional são números racionais, segue que nem a soma nem o produto dos autovalores podem ser irracionais.

Resposta

Um exemplo é
A=0 & 12 & 0,
cujo polinômio característico lambda^2-2=0 dá autovalores lambda1=raiz2 e lambda2=-raiz2, ambos de multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Autovetores correspondentes podem ser v1=(1,raiz2)^T e v2=(1,-raiz2)^T.
Quanto à parte (b), não: para matriz de entradas racionais, soma dos autovalores = traço racional e produto = determinante racional, logo ambos são racionais.

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