1 (2,0 pts.) Considere a aplicação T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+3 z).
(a) Mostre que T é linear;
(b) Determine [T], a matriz de T, com relação a base canônica de R^3.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação Tcolon R^3toR^2 definida por
T(x,y,z) = (,x + 2y - z,;2x - y + 3z,)
O conteúdo aqui é transformação linear: primeiro vamos mostrar que T satisfaz aditividade e homogeneidade; em seguida, vamos determinar a matriz de T nas bases canônicas de R^3 e R^2.

Passo 2

Para verificar aditividade e homogeneidade, sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em R^3 e lambdainR. Então
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) =l((x1+x2)+2(y1+y2)-(z1+z2),;2(x1+x2)-(y1+y2)+3(z1+z2)r),
o que se separa exatamente em
T(u)+T(v) =l(x1+2y1-z1,;2x1-y1+3z1r) +l(x2+2y2-z2,;2x2-y2+3z2r)
Além disso,
T(lambda u) = T(lambda x1,lambda y1,lambda z1) =l(lambda x1+2lambda y1-lambda z1,;2lambda x1-lambda y1+3lambda z1r) =lambda,T(u)
Portanto T é linear.

Passo 3

A matriz de T na base canônica obtém-se aplicando T aos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) e usando os resultados como colunas:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,2), T(e2)=T(0,1,0)=(2,-1), T(e3)=T(0,0,1)=(-1,3)
Logo as colunas de [T] são (1,2), (2,-1) e (-1,3).

Resposta

A matriz de T na base canônica de R^3 (domínio) e R^2 (contradomínio) é
[T] = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 3

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