Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=e^r t.
y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para encontrar os valores de $ r $ que fazem com que a solução da equação seja da forma $ y = e^{r t} $. A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e soluções exponenciais. Precisamos usar um método chamado equação característica para achar esses valores de $ r $.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação diferencial é $ y = e^{r t} $. Quando fazemos isso, precisamos encontrar as derivadas de $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Calculando as derivadas:
y = e^r t
y' = r e^r t
y'' = r^2 e^r t
y''' = r^3 e^r t
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original:
y''' - 3 y'' + 2 y' = 0
Substituindo:
r^3 e^r t - 3 r^2 e^r t + 2 r e^r t = 0

Passo 4

Como $ e^{r t} $ nunca é zero, podemos dividir toda a equação por $ e^{r t} $, simplificando para:
e^r t
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ r $.

Passo 5

Primeiro, fatoramos a equação:
r (r^2 - 3 r + 2) = 0
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
r (r - 1)(r - 2) = 0
Então, as soluções são:
r = 0, r = 1, r = 2

Resposta

Os valores de $ r $ que satisfazem a equação são $ r = 0 $, $ r = 1 $ e $ r = 2 $.

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