Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para encontrar os valores de $ r $ que fazem com que a solução da equação seja da forma $ y = e^{r t} $. A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e soluções exponenciais. Precisamos usar um método chamado equação característica para achar esses valores de $ r $.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação diferencial é $ y = e^{r t} $. Quando fazemos isso, precisamos encontrar as derivadas de $ y $ em relação a $ t $.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 4
Como $ e^{r t} $ nunca é zero, podemos dividir toda a equação por $ e^{r t} $, simplificando para:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ r $.
Passo 5
Primeiro, fatoramos a equação:
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Então, as soluções são:
Resposta
Os valores de $ r $ que satisfazem a equação são $ r = 0 $, $ r = 1 $ e $ r = 2 $.