Seja z=(x+y)^-1.
a) Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (-2,4) com y fixado.

Passo 1

Aqui temos a função z = (x+y)^{-1} e queremos a taxa de variação de z em relação a x, ou seja partial zpartial x, no ponto (x,y)=(-2,4) mantendo y fixo. O conteúdo é derivada de funções compostas e recíprocas, e vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u = x+y de modo que z = u^-1. Aplicando a regra da cadeia, derivamos em relação a x:
Pela regra da cadeia,
partial zpartial x = d(u^-1)ducdotdudx = -u^-2cdot1 = -(x+y)^-2

Passo 3

Agora substituímos as coordenadas do ponto dado: como x = -2 e y = 4, temos x+y = 2. Então
partial zpartial xg|(-2,4) = -2^-2 = -tfrac14

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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