Verifique se cada uma das funções abaixo é uma solução da equação ut t=4 ux x.
© u(x, t)=sen(x-2 t)+ln (x+2 t).

Passo 1

Estamos verificando se a função u(x,t)=sin(x-2t)+ln(x+2t) satisfaz a equação de ondas utt=4,uxx. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais de segunda ordem e a forma geral de solução pelo método de d’Alembert.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, definimos as variáveis auxiliares xi = x-2t e eta = x+2t. Com isso fica mais simples escrever
$$
u(x,t)=\sin(\xi)+\ln(\eta)$$

Passo 3

Vamos calcular as derivadas em relação a t usando regra da cadeia. Como dfracpartialxipartial t=-2 e dfracpartialetapartial t=2, temos
ut = cos(xi)cdot(-2)+1etacdot2 = -2cos(xi)+2eta
Derivando de novo em t:
utt = -2l(-sin(xi)cdot(-2)r)+2l(-1eta^2cdot2r) = -4sin(xi)-4eta^2

Passo 4

Agora calculamos as derivadas em relação a x. Como dfracpartialxipartial x=1 e dfracpartialetapartial x=1, segue
ux = cos(xi)cdot1 + 1etacdot1 = cos(xi)+1eta
Derivando de novo em x:
uxx = -sin(xi)cdot1 - 1eta^2cdot1 = -sin(xi)-1eta^2

Passo 5

Agora basta comparar:
utt = -4sin(xi)-4eta^2,
4,uxx = 4l(-sin(xi)-1eta^2r) = -4sin(xi)-4eta^2
Como utt=4,uxx, concluímos que a função realmente satisfaz a equação de ondas.

Resposta

Sim, a função u(x,t)=sin(x-2t)+ln(x+2t) satisfaz a equação utt=4,uxx.

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