Verifique se cada uma das funções abaixo é uma solução da equação
.
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Passo 1
Estamos verificando se a função
satisfaz a equação de ondas
. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais de segunda ordem e a forma geral de solução pelo método de d’Alembert.
Passo 2
Para facilitar o cálculo, definimos as variáveis auxiliares
e
. Com isso fica mais simples escrever
$$
u(x,t)=\sin(\xi)+\ln(\eta)$$
Passo 3
Vamos calcular as derivadas em relação a
usando regra da cadeia. Como
e
, temos
Derivando de novo em
:
Passo 4
Agora calculamos as derivadas em relação a
. Como
e
, segue
Derivando de novo em
:
Passo 5
Agora basta comparar:
Como
, concluímos que a função realmente satisfaz a equação de ondas.
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação
.