Determine que valores de r para os quais a equação diferencial
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+4 y=0
tem uma solução da forma y=t^r para t>0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de r tais que a equação diferencial de Euler-Cauchy
t
t²y’’ − 4t y’ + 4y = 0 tenha solução da forma y = tʳ para t>0. Vamos usar o método de substituição y = tʳ para obter a equação característica.

Passo 2

Assumimos y = tʳ. Então as derivadas são
Para derivar uma potência usamos a regra do expoente:
y’ = d/dt(tʳ)=r t^{r−1},
y’’ = d/dt(r t^{r−1})=r(r−1) t^{r−2}.

Passo 3

Substituímos y, y’ e y’’ na equação diferencial:
Substituindo,
t²·[r(r−1) t^{r−2}] − 4t·[r t^{r−1}] + 4·[tʳ] = 0.
Como todas as parcelas têm fator tʳ, podemos fatorar tʳ≠0 e obter uma equação em r.

Passo 4

Fatorando tʳ e simplificando as potências:
r(r−1) tʳ − 4r tʳ + 4 tʳ = 0
Divide-se por tʳ:
r(r−1) − 4r + 4 = 0
Que expande para
r² − r − 4r + 4 = 0
o que dá
r² − 5r + 4 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática r² − 5r + 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
r = [5 ± √(25 − 16)]/2 = [5 ± 3]/2,
o que fornece r = 4 ou r = 1.

Resposta

Os valores de r que geram solução da forma y = tʳ são r = 1 e r = 4.

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