Verifique se a função
y(x)=-12 x^2-12 x-114+e 2 x
é uma solução da equação diferencial
y^prime-2 y=x^2+5
no intervalo I=(-infty,+infty).

Passo 1

Enunciado: a gente precisa verificar se a função y(x) = -tfrac12x^2 - tfrac12x - tfrac114 + e^2x satisfaz a equação diferencial y' - 2y = x^2 + 5 no intervalo I = (-infty, +infty). O conteúdo envolve EDO linear de primeira ordem não homogênea e vamos precisar calcular a derivada de y(x) e depois substituir na equação para conferir se a igualdade vale.

Passo 2

Calculando a derivada de y(x) termo a termo, temos
y'(x) = ddxl(-tfrac12x^2r) + ddxl(-tfrac12xr) + ddxl(-tfrac114r) + ddxl(e^2xr) = -x - tfrac12 + 2e^2x

Passo 3

Substituindo y'(x) e y(x) em y' - 2y e simplificando, obtemos
y' - 2y =l(-x - tfrac12 + 2e^2xr) - 2l(-tfrac12 x^2 - tfrac12 x - tfrac114 + e^2xr) = x^2 + 5

Passo 4

Como a expressão ficou exatamente x^2 + 5, a função satisfaz a equação y' - 2y = x^2 + 5 para todo x in (-infty, +infty).

Resposta

Sim. A função y(x) = -tfrac12 x^2 - tfrac12 x - tfrac114 + e^2x é solução da equação diferencial y' - 2y = x^2 + 5 em I = (-infty, +infty).

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